Umgebungen

Für eine reelle Zahl ϵ>0\epsilon>0 und einen Punkt x∈Rnx\in\Rn heißt die Menge
Uϵ(x):={y∈Rn ∣ ∣∣x−y∣∣<ϵ}U_\epsilon(x):=\{ y\in\Rn \, |\, ||x-y||<\epsilon\}
eine ϵ\epsilon-Umgebung um xx.
Eine ϵ\epsilon-Umgebung besteht aus allen Punkten, die in einer offenen Kugel (ohne Rand) mit den Radius ϵ\epsilon um xx liegen. Für n=1n=1 erhält man mit dieser Definition genau wieder die offenen Intervalle der Form ]x−ϵ,x+ϵ[]x-\epsilon,x+\epsilon[.
Eine Menge U(x)⊆RnU(x)\subseteq\Rn heißt Umgebung um xx falls es ein ϵ>0\epsilon>0 gibt mit Uϵ(x)⊆U(x)U_\epsilon(x)\subseteq U(x).

Beschränktheit

Eine Menge M⊆RnM\subseteq\Rn heißt beschränkt, wenn es eine ϵ\epsilon-Umgebung um den Nullpunkt O=(0,0,…,0)O=(0,0,\dots,0) gibt, die MM ganz enthält: M⊆Uϵ(O)M\subseteq U_\epsilon(O).
Mit dieser Definition gleichwertig ist, dass der Abstand zweier beliebiger Punkte x,yx,y aus MM stets endlich ist oder genauer, dass es ein ϵ>0\epsilon>0 gibt, so dass ∣∣x−y∣∣<ϵ||x-y||<\epsilon.
 
 

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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