Kompaktheit und Abgeschlossenheit

Kompakte Mengen vererben diese Eigenschaft auf abgeschlossene Teilmengen. Es gilt:

Satz 5911B

Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist kompakt.

Beweis

Sei A⊆MA\subseteq M kompakt und B⊆AB\subseteq A abgeschlossen. Sei nun BiB_i (i∈Ii\in I) eine beliebige Überdeckung von BB, also
B⊆⋃i∈IBiB\subseteq\bigcup\limits_{i\in I}B_i.
Es gilt:
A⊆(M∖B)∪⋃i∈IBiA\subseteq (M\setminus B)\cup \bigcup\limits_{i\in I}B_i =⋃i∈IBi∪(M∖B)=\bigcup\limits_{i\in I}B_i\cup(M\setminus B) (1)
Da M∖BM\setminus B offen ist, handelt es sich bei (1) um eine offene Überdeckung von AA. Wegen der Kompaktheit von AA können wir hieraus eine endliche Überdeckung auswählen, es gibt also Indizes i1,…,ini_1,\ldots,i_n, so dass:
A⊆⋃k=1nBik∪(M∖B)A\subseteq \bigcup\limits_{k=1}^n{B_i}_k\cup(M\setminus B).
Wegen B⊆AB\subseteq A gilt aber B=A∩BB=A\cap B, also:
B=B∩A⊆B∩⋃k=1nBik∪(M∖B)B=B\cap A\subseteq B\cap \bigcup\limits_{k=1}^n{B_i}_k\cup(M\setminus B) =⋃k=1nB∩(Bik∪(M∖B))=\bigcup\limits_{k=1}^n B\cap( {B_i}_k\cup(M\setminus B)) =⋃k=1n(B∩Bik)∪(B∩(M∖B))=\bigcup\limits_{k=1}^n (B\cap {B_i}_k) \cup (B\cap(M\setminus B)) =⋃k=1n(B∩Bik)=\bigcup\limits_{k=1}^n (B\cap {B_i}_k) =B∩⋃k=1nBik⊆⋃k=1nBik=B\cap\bigcup\limits_{k=1}^n {B_i}_k\subseteq \bigcup\limits_{k=1}^n {B_i}_k.
Damit hätten wir eine endliche Teilüberdeckung der Menge BB gefunden, also ist BB kompakt.□\qed

Satz 5911C

Mit zwei Mengen ist auch ihre Vereinigung und ihr Durchschnitt kompakt.

Beweis

Seien AA und BB kompakt. Sei OiO_i (i∈Ii\in I) eine Überdeckung von A∪BA\cup B. Diese ist aber auch zugleich eine offene Überdeckung von AA und BB. Da beide Mengen kompakt sind, können wir je eine endliche Teilüberdeckung für sie auswählen. Die Vereinigung diese beiden Teilüberdeckungen ist aber eine endliche Überdeckung von A∪BA\cup B, womit also auch die Vereinigung kompakt ist.
Nach Satz 5909E sind kompakte Mengen abgeschlossen und nach Satz 5910A ist A∩BA\cap B abgeschlossen. Nach Satz 5911B ist aber A∩BA\cap B auch kompakt. □\qed
 
 

Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanft ein.

Georg Christoph Lichtenberg

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