Ultrametriken

Eine Metrik $d$ heißt Ultrametrik, wenn

für alle $x , y , z \in X$ gilt.

Die diskrete Metrik ist eine Ultrametrik.

Ist $S$ eine beliebige nichtleere Menge, dann kann man die Menge $S ^{\N}$ aller Folgen in $S$ zu einem metrischen Raum machen, indem man den Abstand zweier verschiedener Folgen $(x_n), (y_n)$ auf den Wert $1/N$ setzt, wobei $N$ der kleinste Index ist, für den $x_N$ verschieden ist von $y_N$. Der Abstand einer Folge zu sich selbst wird auf 0 gesetzt. Dieser metrische Raum ist dann vollständig und ultrametrisch.

Jedes Dreieck $\Delta ABC$ aus Punkten eines ultrametrischen Raums $S$ ist gleichseitig oder gleichschenklig, wobei die [!Basis] die kürzere Seite ist.

Sind $a,b,c$ die Abstände der drei Eckpunkte ($a = d (B,C)$ usw.), dann ist entweder $a$=$b$=$c$ ($ABC$ gleichseitig) oder eine Seite ist kürzer als eine andere. ObdA nehmen wir an, dass $a < b$, es ist $a < b \leq \max\{a,c\}$, also $b \leq c$, und $c \leq \max\{a,b\}= b$, also ist $ABC$ dann gleichschenklig mit kürzerer Basis $BC$. $\qed$