Folgen und Konvergenz in metrischen Räumen

Sei (X,d)(X,d) ein metrischer Raum. Eine Abbildung a:N→Xa:\N \rightarrow X heißt Folge. Schreibweisen: (an)n∈N(a_n)_{n \in \N} (an) (a_n) (an)n=1∞ (a_n)_{n=1}^\infty (a(n))n∈N (a(n))_{n \in \N} (a1,a2,…) (a_1,a_2,\ldots)

Konvergenz

Sei (X,d)(X,d) ein metrischer Raum. Eine Folge (an)⊂X(a_n) \subset X heißt genau dann konvergent, wenn es ein a∈Xa \in X derart gibt, dass für alle ε>0\varepsilon > 0 ein nε∈Nn_{\varepsilon} \in \N mit der Eigenschaft d(a,an)≤εd(a,a_n)\leq \varepsilon für alle n≥nεn \geq n_{\varepsilon} existiert:
∃a∈X ∀ε>0 ∃nε∈N ∀n≥nε:d(a,an)≤ε\exists a \in X \, \forall \varepsilon > 0 \, \exists n_{\varepsilon} \in \N \, \forall n \geq n_{\varepsilon}:d(a,a_n)\leq \varepsilon
Man sagt (an)(a_n) konvergiert gegen aa. Schreibweisen: lim⁡n→∞an=a\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} a_n =a ; an→a a_n \rightarrow a; (an)→a (a_n) \rightarrow a. Das Gegenteil von konvergenten Folgen sind divergente Folgen.

Geometrische Interpretation der Konvergenz

In jeder ε\varepsilon -Umgebung Uε(a)U_{\varepsilon}(a) liegen unendlich viele Glieder der Folge (an)(a_n) und ausserhalb Uε(a)U_{\varepsilon}(a) liegen höchstens endlich viele Glieder der Folge (an)(a_n). Man sagt auch: In jeder ϵ\epsilon-Umgebung liegen fast alle Glieder der Folge (an)(a_n).

Satz 16JK (Zusammenhang mit der Konvergenz reeller Zahlenfolgen)

Es gilt an→aa_n\to a genau dann, wenn d(an,a)d(a_n,a) eine Nullfolge ist; also lim⁡d(an, a)=0\lim d(a_n,\, a) =0 gilt.

Beweis

Man vergleiche die Definition der Konvergenz mit der von Nullfolgen. □\qed
Eine Folge (an)(a_n) kann nur immer gegen genau einen Wert aa konvergieren. Denn wenn a′a' ein anderer solcher Wert ist, gilt die Ungleichung d(a,a′)≤d(a,an)+d(a′,an)d(a,a')\leq d(a,a_n)+d(a',a_n). Auf deren rechten Seite stehen zwei Nullfolgen, damit muss für die linke Seite d(a,a′)=0d(a,a')=0, also a=a′a=a' gelten.

Satz 5608E (Konvergenz und Häufungspunkte)

Sei AA Teilmenge eines metrischen Raums (MM,dd). Ein h∈Mh\in M ist genau dann Häufungspunkt von AA, wenn eine Folge (an)(a_n) mit an∈Aa_n\in A existiert, die gegen hh konvergiert, also h=lim⁡anh=\lim a_n gilt.

Beweis

"  ⟹  \follows": Sei h∈A′h\in A'. Wir wählen jetzt Umgebungen U1/n(h)U_{1/n}(h). Wegen der Häufungspunkteigenschaft von hh muss es jeweils ein an∈Aa_n\in A geben, das in diesen Umgebungen liegt. Die so konstruierte Folge (an)(a_n) konvergiert natürlicherweise gegen hh.
"⇐\Leftarrow": Wenn eine gegen hh konvergente Folge (an)(a_n) mit Gliedern aus AA gibt, so finden wir für beliebiges ϵ>0\epsilon>0 nach der Definition der Konvergenz immer ein ak∈Uϵ(h)a_k\in U_\epsilon(h), womit h∈A′h\in A' gilt. □\qed
Da jede abgeschlossene Menge ihre Häufungspunkte enthält, ergibt sich

Folgerung 5608H

Eine Teilmenge AA eines metrischen Raums (MM,dd) ist genau dann abgeschlossen, wenn jede konvergente Folge (an)(a_n) mit Werten aus AA gegen ein a∈Aa\in A konvergiert.

Sei (X,d)(X,d) ein metrischer Raum. Die Folge (an)⊂X(a_n) \subset X heißt genau dann beschränkt , wenn gilt:
∃a∈X ∃M≥0 ∀n∈R:d(a,an)≤M\exists a \in X \, \exists M \geq 0 \, \forall n \in \R : d(a,a_n) \leq M,
der Durchmesser der Menge aller Folgenglieder also endlich ist (nämlich ≤2M\leq 2M).
Wie im Reellen gilt

Satz 16JJ (Beschränktheit konvergenter Folgen)

Jede konvergente Folge in (X,d)(X,d) ist beschränkt.

Beweis

Sei a∈Xa \in X der Grenzwert von (an)(a_n). Für ε=1\varepsilon = 1 gibt es ein nε∈Nn_{\varepsilon} \in \N , so dass für alle n≥εn \geq \varepsilon gilt: d(an,a)≤1d(a_n,a) \leq 1. Für M:=max⁡{d(a,a1),…,d(a,anε),1}M := \max \{d(a,a_1),\ldots , d(a,a_{n_{\varepsilon}}), 1\} gilt d(a,an)≤Md(a,a_n) \leq M ( ∀n∈N\forall n \in \N). □\qed
 
 

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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