Abbildungen und Stetigkeit

Für die Abbildungen von metrischen Räumen ineinander kann man den Begriff der Stetigkeit analog zur Stetigkeit von reellen Funktionen definieren.
Seien also (M1,d1)(M_1,d_1) und (M2,d2)(M_2,d_2) zwei metrische Räume. Eine Abbildung f:M1→M2f:M_1\rightarrow M_2 heißt stetig in x0x_0 , wenn es für jedes ϵ>0\epsilon>0 ein δ>0\delta>0 gibt, so dass für alle x∈M1x\in M_1 aus d1(x0,x)<δd_1(x_0,x)<\delta folgt, dass d2(f(x0),f(x))<ϵd_2(f(x_0),f(x))<\epsilon; also f(Uδ(x0))⊆Uϵ(f(x0))f(U_\delta(x_0))\subseteq U_\epsilon(f(x_0)). ff ist auf ganz M1M_1 stetig, wenn ff für alle Punkte stetig ist.

Satz 16CF (Charakterisierung lokaler Stetigkeit)

Seien also (M1,d1)(M_1,d_1) und (M2,d2)(M_2,d_2) zwei metrische Räume; f:M1→M2f:M_1\rightarrow M_2 und x∈M1x\in M_1. Dann sind folgende Aussagen äquivalent
  1. ff ist stetig in xx
  2. Für jede Umgebung V(f(x))⊆M1V(f(x))\subseteq M_1 gibt eine Umgebung U(x)⊆M1U(x)\subseteq M_1, so dass f(U(x))⊆V(f(x))f(U(x))\subseteq V(f(x))
  3. Das Urbild jeder Umgebung V(f(x))⊆M1V(f(x))\subseteq M_1 ist eine Umgebung U(x)U(x)

Beweis

(i)   ⟺  \iff (ii): Gilt da jede ϵ\epsilon-Umgebung eine Umgebung ist und jede Umgebung nach Definition eine ϵ\epsilon-Umgebung enthält.
(ii)   ⟹  \implies (iii): Sei y=f(x)y=f(x), V(y)V(y) eine Umgebung, dann gibt es eine Umgebung U(x)U(x) mit f(U(x))⊆V(y)f(U(x))\subseteq V(y) und nach Satz 5212B ergibt sich U(x)⊆f −1(f(U(x)))⊆f −1(V(x))U(x)\subseteq f^{\, \me}(f(U(x)))\subseteq f^{\, \me}(V(x)). Damit ist das Urbild von V(y)V(y) Obermenge einer Umgebung und damit selbst Umgebung.
(iii)   ⟹  \implies (ii): Habe nun V(y)V(y) als Urbild eine Umgebung U(x)U(x), also U(x)=f −1(V(y))U(x)=f^{\, \me}(V(y)), dann gilt nach Satz 5212B f(U(x))=f(f −1(V(y)))⊆V(y)f(U(x))=f(f^{\, \me}(V(y)))\subseteq V(y). □\qed

Satz 16CG (Charakterisierung globaler Stetigkeit)

Seien also (M1,d1)(M_1,d_1) und (M2,d2)(M_2,d_2) zwei metrische Räume. Dann sind folgende Aussagen äquivalent
  1. f:M1→M2f:M_1\rightarrow M_2 ist stetig
  2. Das Urbild jeder offenen Menge ist offen
  3. Das Urbild jeder abgeschlossenen Menge ist abgeschlossenen
  4. Für alle A⊆M1A\subseteq M_1 gilt f(A‾)=f(A)‾f(\overline A)=\overline{f(A)}

Beweis

Bei Beweis wird nicht auf die Metrik zurückgegriffen. Daher gilt der Satz auch in allgemeinen topologischen Räumen.
Satz 5212B
(i)   ⟹  \implies (iv): f:M1→M2f:M_1\rightarrow M_2 sei stetig und A⊆M1A\subseteq M_1. Sei nun x∈A‾x\in \overline A beliebig gewählt und y=f(x)y=f(x). Ist V(y)V(y) eine beliebige Umgebung um yy, so ist wegen der Stetigkeit von ff nach Satz 16CF U(x)=f −1(V(y))U(x)=f^{\, \me}(V(y)) eine Umgebung von xx. Da x∈A‾x\in \overline A gibt es ein u∈A∩U(x)u\in A\cap U(x). Für dieses uu gilt nun einerseits f(u)∈f(A)f(u)\in f(A) und andererseits f(u)∈f(U(x))f(u)\in f(U(x)) =f(f −1(V(y)))=f(f^{\, \me}(V(y))) ⊆V(y)\subseteq V(y) (siehe Satz 5212B). Damit ist f(u)∈f(A)∩V(y)f(u)\in f(A)\cap V(y), also enthält V(y)V(y) eine Punkt aus f(A)f(A) und es gilt y∈f(A)‾y\in\overline{f(A)}
(iv)   ⟹  \implies (iii): Sei B⊆M2B\subseteq M_2 abgeschlossen und A=f −1(B)A=f^{\, \me}(B). Dann ist f(A)=f(f −1(B))⊆Bf(A)=f(f^{\, \me}(B))\subseteq B (Satz 5212B). Nach Satz 5226C: f(A)‾⊆B‾=B\overline {f(A)}\subseteq \overline{B}=B. Nach Voraussetzung gilt f(A‾)=f(A)‾⊆Bf(\overline A)=\overline{f(A)}\subseteq B. Mit Satz 5212B erhält man dann A‾⊆f −1(f(A‾))\overline A\subseteq f^{\, \me}(f(\overline A)) ⊆f −1(B)=A\subseteq f^{\, \me}(B)=A und nach Satz 5226C ist AA abgeschlossen.
(iii)   ⟹  \implies (ii): Sei A⊆M2A\subseteq M_2 offen. Dann ist M2∖AM_2\setminus A abgeschlossen und nach Voraussetzung ist f −1(M2∖A)f^{\, \me}(M_2\setminus A) abgeschlossen. Nach Satz 5212B ist f −1(M2∖A)=M1∖f −1(A)f^{\, \me}(M_2\setminus A)=M_1\setminus f^{\, \me}(A), also ist f −1(A)f^{\, \me}(A) offen.
(ii)   ⟹  \implies (i): Sei x∈M1x\in M_1 und y=f(x)y=f(x) sowie V(y)V(y) eine Umgebung von yy. Diese enthält eine offene Menge B⊆V(y)B\subseteq V(y) mit y∈By\in B. Nach Voraussetzung ist deren Urbild f −1(B)f^{\, \me}(B) offen und da f −1(B)⊆f −1(V(y))f^{\, \me}(B)\subseteq f^{\, \me}(V(y)) ist f −1(V(y))f^{\, \me}(V(y)) eine Umgebung von xx. Damit ist ff in xx stetig und da xx beliebig gewählt war, ist ff überall stetig. □\qed

Satz 16K1

Sei XX ein kompakter metrischer Raum, die Abbildung f:X→Yf:X\rightarrow Y stetig und injektiv. Dann gilt:
f−1:f(X)→Xf^{-1}:f(X)\rightarrow X ist stetig

Beweis

Y0:=f(X)Y_0 :=f(X) ist nach Satz 16JZ kompakt. Nach Satz 16CG genügt es zu zeigen, dass die Urbilder von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen sind; also für A⊂XA\subset X abgeschlossen muss(f−1)−1(A)=f(A)(f^{-1})^{-1}(A)=f(A) auch abgeschlossen sein. Sei (yn)⊂f(A)(y_n)\subset f(A), yn→b∈Y=f(X) y_n\rightarrow b\in Y=f(X). Es ist zu zeigen, dass b∈f(A)b\in f(A). xn=f−1(yn)∈A⊂Xx_n=f^{-1}(y_n)\in A\subset X. Da XX kompakt ist, existiert eine Teilfolge (xnk)⊂(xn):xnk→a∈X (x_{n_k})\subset (x_n) :x_{n_k}\rightarrow a\in X. Da AA abgeschlossen ist gilt a∈Aa\in A.
Da ff stetig gilt b=lim⁡n→∞yn b=\lim_{n\rightarrow\infty} y_n=lim⁡n→∞f(xn) = \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=lim⁡k→∞f(xnk)=f(a)∈f(A) =\lim_{k\rightarrow\infty}f(x_{n_k})=f(a)\in f(A) □\qed
 
 

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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