Banachscher Fixpunktsatz

Kontraktionen

Sei (MM,dd) ein metrischer Raum und f:M→Mf:M\rightarrow M eine Abbildung. Dann heißt ff Kontraktion oder kontrahierende Abbildung, wenn es ein C∈RC\in\dom R mit 0≤C<10\le C<1 gibt, so dass für alle x,y∈Mx,y\in M gilt:
d(f(x),f(y))≤C⋅d(x,y)d(f(x),f(y))\leq C\cdot d(x,y).
Eine Kontraktion verringert also den Abstand zweier Punkte zueinander.
 
 

Fixpunkte

Sei f:M→Mf:M\to M eine Abbildung eines metrischen Raums in sich. Ein Punkt x∈Mx\in M heißt Fixpunkt von ff, falls f(x)=xf(x)=x gilt.
Eine Kontraktion verringert den Abstand zwischen Punkten. Der Gedanke, dass kontrahierende Abbildungen Fixpunkte besitzen, liegt daher nahe. Dazu muss der metrische Raum allerdings vollständig sein.

Satz 1667 (Banachscher Fixpunktsatz)

Sei f:M→Mf:M\to M eine kontrahierende Abbildung eines vollständigen metrischen Raums in sich. Dann besitzt ff genau einen Fixpunkt.

Beweis

Existenz

Wir wählen x0∈Mx_0\in M beliebig und definieren durch xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_n), (n∈Nn\in\N) rekursiv eine Folge. Wir zeigen, dass (xn)(x_n) eine Cauchy-Folge ist.
Wir schätzen ab: d(xi,xi−1)=d(f(xi−1),f(xi−2)d(x_i,x_{i-1})=d(f(x_{i-1}),f(x_{i-2}) ≤Cd(xi−1,xi−2)\le C d(x_{i-1},x_{i-2}) und nach nochmaliger Anwendung: d(xi,xi−1)≤C2d(xi−2,xi−3)d(x_i,x_{i-1})\le C^2 d(x_{i-2},x_{i-3}). Mittels vollständiger Induktion zeigen wir dann
d(xi,xi−1)≤Ci−1d(x1,x0)=Ci−1d(f(x0),x0)d(x_i,x_{i-1})\le C^{i-1}d(x_1,x_0)=C^{i-1}d(f(x_0),x_0).(1)
Nach mehrmaliger Anwendung der Dreiecksungleichung ergibt sich: d(xn+k,xn)≤∑i=n+1n+kd(xi,xi−1)d(x_{n+k},x_n)\le \sum\limits_{i=n+1}^{n+k} d(x_i,x_{i-1})
≤∑i=n+1n+kCi−1d(f(x0),x0)\le \sum\limits_{i=n+1}^{n+k} C^{i-1}d(f(x_0),x_0) (mit (1))
=d(f(x0),x0)∑i=nn+k−1Ci=d(f(x_0),x_0)\sum\limits_{i=n}^{n+k-1} C^{i} ≤d(f(x0),x0)∑i=n∞Ci\le d(f(x_0),x_0)\sum\limits_{i=n}^\infty C^{i}
=d(f(x0),x0) Cn1−C=d(f(x_0),x_0)\, \dfrac {C^n} {1-C} (wegen geometrischer Reihe; siehe Beispiel 5409C)
Dieser Ausdruck wird in Abhängigkeit von nn beliebig klein, damit handelt es sich bei (xn)(x_n) um eine Cauchy-Folge, die konvergiert, da MM vollständig ist.
Sei nun x=lim⁡n→∞xnx=\lim_{n\to\infty} x_n der Grenzwert der Folge. Wegen der Definition der Folge (xnx_n) gilt sicher lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞xn+1\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty} x_{n+1} =lim⁡n→∞f(xn)=\lim_{n\to\infty} f(x_n). Da ff eine Kontraktion ist, gilt auch lim⁡n→∞f(xn)=f(x)\lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(x), womit also x=f(x)x=f(x) und xx ist der gesuchte Fixpunkt.

Eindeutigkeit

Seien xx und yy Fixpunkte von ff. Dann gilt: d(x,y)=d(f(x),f(y))d(x,y)=d(f(x),f(y)) ≤Cd(x,y)\le C d(x,y). Also: (1−C)d(x,y)≤0(1-C) d(x,y)\leq 0 und wegen 1−C>01-C>0 ist d(x,y)=0d(x,y)=0 und daher x=yx=y. □\qed

Anwendungen

Der Banachsche Fixpunktsatz wird unter anderem bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen beim Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf benutzt.

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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