Halbmetrische Räume

Wird Bedingung (i) für metrische Räume zu x=y  ⟹  d(x,y)=0x=y\implies d(x,y)=0 (kürzer d(x,x)=0d(x,x)=0) abgeschwächt, spricht man von einem halbmetrischen Raum.

Satz 5608K

In halbmetrischen Räumen (M,d)(M,d) kann man folgendermaßen eine Äquivalenzrelation definieren
x y:  ⟺  d(x,y)=0x~y:\iff d(x,y)=0.(1)
Der Quotientenraum M/ M/~ kann dann eine Metrik einführen, indem man für zwei Äquivalenzklassen [x][x] und [y][y]
d ([x],[y])=d(x,y)d_~([x],[y])=d(x,y)(2)
definiert.

Beweis

Zuerst zeigen wir, dass die Relation (1) eine Äquivalenzrelation ist. Sie ist reflexiv wegen d(x,x)=0d(x,x)=0 und symmetrisch, wegen der Symmetrie der Metrik. Die Transitivität der Relation (1) ergibt sich aus
0≤d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)=00\leq d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)=0(3)
Bleibt zu zeigen, dass d d_~ eine Metrik ist. Es ist offensichtlich d ([x],[x])=0d_~([x],[x])=0.
Wenn andererseits d ([x],[y])=0d_~([x],[y])=0 gilt und z∈[x]z\in[x] ist, gilt d(y,z)≤d(x,y)+d(x,z)d(y,z)\leq d(x,y)+d(x,z). Beide rechte Seiten sind jedoch 00, also ist d(y,z)=0d(y,z)=0 und damit z∈[y]z\in[y]. Also haben wir [x]⊆[y][x]\subseteq[y] gezeigt; analog kann man [y]⊆[x][y]\subseteq[x] zeigen und erhält damit [x]=[y][x]=[y].
Die Symmetrie und die Dreiecksungleichung bezüglich d d_~ ergeben sich zwanglos aus den entsprechenden Eigenschaften von dd. □\qed
 
 

Ich stimme mit der Mathematik nicht überein. Ich meine, daß die Summe von Nullen eine gefährliche Zahl ist.

Stanislaw Jerzy Lec

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