Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf

Vorbemerkungen

Man betrachtet das Differentialgleichungssystem y′=f(x,y)y'=f(x,y) mit y=(y1⋮yn) y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n \end{pmatrix} und f=(f1⋮fn) f=\begin{pmatrix}f_1\\\vdots\\f_n \end{pmatrix}. In Komponenten: y1′=f1(x,y1,…,yn)⋮yn′=fn(x,y1,…,yn) \begin{matrix} y_1'&= f_1(x,y_1,\dots,y_n)\\ &\vdots \\ y_n'&= f_n(x,y_1,\dots,y_n) \end{matrix}

Definition Lipschitzbedingung

Sei G⊂R×RnG\subset\R\times\R^n, f:G→Rn f:G\rightarrow\R^n stetig. ff genügt in GG (bezüglich yy) einer Lipschitzbedingung
:  ⟺  ∃L≥0 ∀(x,y),(x,y~)∈G:∣∣f(x,y)−f(x,y~)∣∣≤L∣∣y−y~∣∣:\iff\exists L\geq 0 \, \forall(x,y),(x,\tilde{y})\in G: ||f(x,y)-f(x,\tilde{y})||\leq L||y-\tilde{y}||.
ff genügt in GG lokal einer Lipschitzbedingung
:  ⟺  ∀(a,b)∈G:\iff\forall (a,b)\in G existiert eine Umgebung U(a,b)U(a,b) und ff genügt in G∩UG\cap U einer Lipschitzbedingung

Satz 16LL (Satz von Picard-Lindelöf)

Sei G⊂R×RnG\subset\R\times\R^n offen und f:G→Rnf:G\rightarrow\R^n eine stetige Funktion, die lokal einer Lipschitzbedingung genügt. Dann existiert für alle (a,c)∈G(a,c) \in G ein ε>0\varepsilon>0, sodass φ:[a−ε,a+ε]→Rn\varphi: [a-\varepsilon,a+\varepsilon]\rightarrow\R^n die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems y′=f(x,y)y'=f(x,y) mit φ(a)=c\varphi(a)=c ist..

Beweis

Beweisidee

Wir konstruieren einen vollständigen metrischen Raum stetiger Funktionen mit einer kontrahierenden Abbildung. Dann können wir den Banachschen Fixpunktsatz anwenden. Der Fixpunkt ist aber gerade die einzige Lösung des Differentialgleichungssystems.
Im Einzelnen:

1. Schritt: Raum der stetigen Funktionen

Sei II ein abgeschlossenes Intervall. C(I,Rn):={φ:I→Rn:φ\mathcal{C}(I,\R^n):=\{\varphi:I\rightarrow\R^n:\varphi stetig }\}, ∣∣φ∣∣:=sup⁡x∈I∣∣φ(x)∣∣2 ||\varphi||:=\sup_{x\in I}||\varphi(x)||_2. Der Raum (C(I,Rn),∣∣⋅∣∣)(\mathcal{C}(I,\R^n), ||\cdot||) ist nach Satz 16K8 ein vollständiger normierter Raum (also Banachraum).
Sei Iε:=[a−ε,a+ε]I_\varepsilon :=[a-\varepsilon,a+\varepsilon] für ε>0 \varepsilon>0. Wir wählen ε,r>0\varepsilon,r>0 so, dass U={(x,y)∈Iε×Rn:∣∣y−c∣∣2≤r}⊂GU=\{(x,y)\in I_\varepsilon\times\R^n: ||y-c||_2\leq r\} \subset G und ff auf UU einer Lipschitzbedingung genügt, d.h. ∃L≥0 ∀(x,y),(x,y~)∈U:∣∣f(x,y)−f(x,y~)∣∣2≤∣∣y−y~∣∣2\exists L\geq 0 \, \forall (x,y),(x,\tilde{y})\in U:||f(x,y)-f(x, \tilde{y})||_2\leq ||y-\tilde{y}||_2. UU ist kompakt (Satz 165L) und ff stetig auf UU. Wir setzen Urε(c):={φ∈C(Iε,Rn):∣∣φ−c∣∣≤r}U_r^\varepsilon(c):=\{\varphi\in\mathcal{C}( I_\varepsilon,\R^n):||\varphi-c||\leq r\} (ist i.a. nicht kompakt). UrεU_r^\varepsilon ist als abgeschlossene Kugel in C(Iε,Rn)\mathcal{C}(I_\varepsilon, \R^n) nach Satz 5608G ein vollständiger metrischer Raum mit der Metrik (d(φ,ψ)=∣∣φ−ψ∣∣)(d( \varphi,\psi)=||\varphi-\psi||).

2.Schritt: Kontrahierende Abbildung

Wir definieren die Abbildung T:Urε(c)→C(Iε,Rn)T:U_r^\varepsilon(c)\rightarrow\mathcal{C}(I_\varepsilon,\R^n) als
(Tφ)(x):=c+∫axf(t,φ(t))dt(T\varphi)(x):=c+\int\limits_a^x f(t,\varphi(t))dt.
Es gilt für alle x∈Iε x\in I_\varepsilon die Abschätzung ∣∣(Tφ)(x)−c∣∣2 ||(T\varphi)(x)-c||_2=∣∣∫axf(t,φ(t))dt∣∣2= \left|\left|\int\limits_a^x f(t,\varphi(t))dt\right|\right|_2 ≤∣∫ax∣∣f(t,φ(t))∣∣2dt∣\leq \left|\int\limits_a^x ||f(t,\varphi(t))||_2dt\right| ≤∣x−a∣M \leq |x-a|M≤εM\leq \varepsilon M (Satz 15VJ) Hieraus folgt:
∀φ∈Urε(c):  ∣∣Tφ−c∣∣\forall \varphi\in U_r^\varepsilon(c):\;||T\varphi- c||=sup⁡x∈Iε∣∣(Tφ)(x)−c∣∣2≤εM=\sup_{x\in I_\varepsilon}||(T\varphi)(x)-c||_2\leq \varepsilon M
∣∣(Tφ)(x)−(Tφ~)(x)∣∣2 ||(T\varphi)(x)-(T\tilde{\varphi})(x)||_2=∣∣∫ax(f(t,φ(t))−f(t,φ~(t)))dt∣∣2= \left|\left|\int\limits_a^x (f(t,\varphi(t))-f(t,\tilde{\varphi}(t)))dt\right|\right|_2 ≤∣∫ax∣∣f(t,φ(t))−f(t,φ~(t)))∣∣2⎵L∣∣φ−φ~∣∣dt∣\leq \left|\int\limits_a^x \underbrace{||f(t,\varphi(t))-f(t,\tilde{\varphi}(t)))||_2}_{L||\varphi-\tilde{\varphi}||} dt\right|≤L∣x−a∣⋅∣∣φ−φ~∣∣\leq L|x-a|\cdot ||\varphi-\tilde{\varphi}|| ≤εL∣∣φ−φ~∣∣\leq \varepsilon L ||\varphi-\tilde{\varphi}|| für x∈Iε x\in I_\varepsilon
⇒∀φ,φ~∈Urε(c):∣∣Tφ−Tφ~∣∣≤εL∣∣φ−φ~∣∣\Rightarrow{\forall \varphi,\tilde{\varphi}\in U_r^\varepsilon(c):||T\varphi-T\tilde{\varphi}|| \leq\varepsilon L ||\varphi-\tilde{\varphi}||}
Man wählt ε>0\varepsilon>0 so, dass ε≤min⁡{rM,12L}\varepsilon\leq \min\ntxbraceK{ \dfrac{r}{M},\dfrac{1}{2L}}. Dann gilt:
  1. T(Urε(c))⊂Urε(c)T(U_r^\varepsilon(c))\subset U_r^\varepsilon(c)
  2. ∀φ,φ~∈Urε(c):∣∣Tφ−Tφ~∣∣≤12∣∣φ−φ~∣∣\forall \varphi,\tilde{\varphi}\in U_r^\varepsilon(c): ||T\varphi-T\tilde{\varphi}||\leq \dfrac{1}{2}||\varphi-\tilde{\varphi}||
Damit ist gezeigt, dass TT eine Kontraktion ist.

3. Schritt: Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes

Man setzt X:=Urε(c)X:=U_r^\varepsilon(c) (ist nach 1. Schritt vollständiger metrischer Raum) und T:X→XT:X\rightarrow X ist nach dem 2. Schritt kontrahierend. Nach dem Banachschen Fixpunktsatz existiert genau ein φ∈X=Urε(c)\varphi\in X=U_r^\varepsilon(c): Tφ=φT\varphi=\varphi. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung impliziert φ′(x)=\varphi'(x)=ddx(Tφ)(x)\dfrac d {dx} (T\phi) (x) =ddx(c+∫axf(t,φ(t))dt)=\dfrac d {dx}\left( c+\int\limits_a^x f(t,\varphi(t))dt\right) =f(x,φ(x))=f(x,\varphi(x)) und φ(a)=c\varphi(a)=c. □\qed
 
 

Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.

N. Bourbaki

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