Hinreichendes Kriterium für Lipschitzbedingung

Der Satz von Picard-Lindelöf sichert eine eindeutige Lösung des Anfangswertproblems bei Erfüllung einer Lipschitzbedingung. Der folgende Satz, zeigt dass es dafür hinreichend ist, dass die Funktionen stetig partiell differenzierbar sind.

Satz 16L2 (Hinreichendes Kriterium für Lipschitzbedingung)

Sei G⊂R×RnG\subset\R\times\R^n offen und f:G→Rnf:G\rightarrow\R^n mit f=f(x,y)f=f(x,y), y=(y1⋮yn) y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix} stetig partiell differenzierbar. Dann genügt ff in GG lokal einer Lipschitzbedingung.
 
 

Beweis

Sei (a,b)∈G(a,b)\in G; da GG offen ∃r>0\exists r>0, so dass U:={(x,y)∈R×Rn:∣∣x−a∣∣≤r ∧ ∣∣y−b∣∣≤r}⊂GU:=\{(x,y)\in\R\times\R^n: ||x-a||\leq r \, \and \, ||y-b||\leq r\}\subset G. UU ist in R×Rn\R\times\R^n abgeschlossen und beschränkt und somit also kompakt (nach Satz 165L). Somit ist wegen Stetigkeit von ∂f∂y=(∂f1∂y1…∂f1∂yn⋮⋮∂fn∂y1…∂fn∂yn)\dfrac{\partial f}{\partial y}=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial y_1} & \dots & \dfrac{\partial f_1}{\partial y_n}\\ \vdots & & \vdots\\ \dfrac{\partial f_n}{\partial y_1} & \dots & \dfrac{\partial f_n}{\partial y_n} \end{pmatrix} auf UU: L:=sup⁡{∣∣∂f∂y(x,y)∣∣:(x,y)∈U}<∞L:=\sup\ntxbraceK{\left|\left|\dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y)\right|\right|:(x,y)\in U}<\infty (siehe Satz 165S). Nach dem Mittelwertsatz gilt:
f(x,y)−f(x,y~)=(∫01∂f∂y(x,y+t(y~−y))dt)(y~−y)f(x,y)-f(x,\tilde{y})=\left(\int\limits_0^1 \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y+t(\tilde{y}-y))dt\right)(\tilde{y}-y)
Daher folgt: ∣∣f(x,y)−f(x,y~)∣∣2 ||f(x,y)-f(x,\tilde{y})||_2=∣∣(∫01∂f∂y(x,y+t(y~−y))dt)(y~−y)∣∣2 = \left|\left|{\left(\int\limits_0^1\dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y+t(\tilde{y}-y))dt\right)(\tilde{y}-y)}\right|\right|_2 ≤∫01∣∣∂f∂y(x,y+t(y~−y))∣∣dt ∣∣y~−y∣∣2 \leq \int\limits_0^1 \left|\left|\dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y+t(\tilde{y}-y)) \right|\right|dt \, ||\tilde{y}-y||_2≤∫01∣∣∂f∂y(x,y+t(y~−y))∣∣⎵≤L ∀(x,z)∈Udt∣∣y~−y∣∣2 \leq \int\limits_0^1\underbrace{\left|\left|\dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y+t(\tilde{y}-y))\right|\right|}_{\leq L \, \forall (x,z)\in U}dt ||\tilde{y}-y||_2≤L∫011dt∣∣y~−y∣∣2 \leq L\int\limits_0^1 1dt||\tilde{y}-y||_2=L∣∣y~−y∣∣2 =L||\tilde{y}-y||_2 . Da auf endlichdimensionalen Räumen die Normen äquivalent sind (Satz 16KB), erhalten wir unter der Ausgangsnorm ∣∣⋅∣∣||\cdot||: ∣∣f(x,y)−f(x,y~∣∣≤L~∣∣y~−y∣∣||f(x,y)-f(x,\tilde{y}||\leq \tilde{L}||\tilde{y}-y||. □\qed

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.

David Hilbert

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