Eigenschaften

Die Eigenschaften der Stetigkeit übertragen sich von den reellen Funktionen auf Funktionen mehrerer Veränderlicher

Satz 165S (Eigenschaften stetiger Funktionen)

Seien f,g:Rn→Rf,g:\Rn\to \R stetige Funktionen. E⊆D(f)E\subseteq D(f) sei kompakt (beschränkt und abgeschlossen).
  1. Die Summe f+gf+g, die Differenz f−gf-g, das Produkt f⋅gf\cdot g und der Quotient fg\dfrac f g (sofern g(x)≠0g(x)\neq 0) sind stetig.
  2. ff ist auf EE beschränkt
  3. ff nimmt auf EE sein Minimum und Maximum an
  4. ff ist auf EE gleichmäßig stetig

Beweis

(i) wird wie im eindimensionalen Fall bewiesen.
(ii) folgt aus (iii)
(iii) und (iv) gelten ganz allgemein in metrischen Räume siehe Satz 16K0 und Satz 16JZ. □\qed
 
 

Die Furcht vor der Mathematik steht der Angst erheblich näher als der Ehrfurcht.

Felix Auerbach

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