Partielle Ableitungen

Eine Funktion $f:\Rn\to\R$ sei in einer Umgebung des Punktes $x^0\in\Rn$ definiert. Dann heißt $f$ in $x^0$ partiell differenzierbar nach $x_k$, wenn der Grenzwert des Differentialquotienten

existiert. Dieser Grenzwert heißt die partielle Ableitung von $f$ nach $x_k$ im Punkt $x^0$ und wird mit

bezeichnet.

Die Funktion $f$ heißt in $E\subseteq D(f)$ differenzierbar, wenn die partiellen Ableitungen nach allen Variablen $x_k$ für alle $x\in E$ existieren.

Die Funktion $f$ heißt stetig differenzierbar in einem Punkt $x^0$, falls es eine Umgebung um $x^0$ gibt, in der $f$ differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen $\dfrac {\partial f} {\partial x_k}$ ($k=1,\dots,n$) stetige Funktionen von $x_k$ sind. $f$ ist in $E\subseteq D(f)$ stetig differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt $x\in E$ stetig differenzierbar ist.

Die partiellen Ableitungen entsprechen in dem Sinne den gewöhnlichen Ableitungen, dass nur eine Koordinate variiert wird und die anderen jeweils festgehalten werden. Daher kann man alle Differentiationsregeln auf partielle Ableitungen übertragen. Man wendet diese auf die Variable an, nach der differenziert wird und behandelt alle anderen Variablen als Konstanten.

$f(x_1,x_2,x_3)=x_1+\e^{x_2}+\sin(x_3)$

$\dfrac {\partial f} {\partial x_1}=1$ Der Exponential- und Sinusausdruck verschwinden, da sie nicht von $x_1$ abhängen.

$\dfrac {\partial f} {\partial x_2}=\e^{x_2}$ und $\dfrac {\partial f} {\partial x_3}=\cos(x_3)$

$f(x_1,x_2)=x_1\cdot x_2^2$

$\dfrac {\partial f} {\partial x_1}=x_2^2$ und $\dfrac {\partial f} {\partial x_2}=2\cdot x_1\cdot x_2$.

Im Gegensatz zu reellen Funktionen (vgl. Satz 15J3), kann man für Funktionen mehrerer Veränderlicher aus der Differenzierbarkeit nicht mehr auf die Stetigkeit schließen.

Die Funktion $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ aus Beispiel 165Q ist in (0,0) nicht stetig. Sie ist dort aber wohl differenzierbar. Denn für $x=0$ (genauso wie für $y=0$) ist sie die Nullfunktion, deren Ableitung $0$ ist. Daher gilt: $\dfrac {\partial f} {\partial x} (0,0)=\dfrac {\partial f} {\partial y} (0,0)=0$.