Mehrdimensionale Mittelwertsätze

Satz 16KJ (Mehrdimensionaler Mittelwertsatz)

Sei f:DRf:D\rightarrow \R mit DRn D\subset\R^n offen, auf DD differenzierbar; x,x+hDx,\, x+h\in D mit x+thDx+th\in D für 0t10\leq t\leq 1. Dann gibt es ein 0<ϑ<10<\vartheta<1, so dass
f(x+h)f(x)=f(x+ϑh)h f(x+h)-f(x)=f'(x+\vartheta h)h

Beweis

Man wendet den eindimensionalen Mittelwertsatz an. φ(t):=f(x+th)\varphi(t):=f(x+th) mit φ:[0,1]R \varphi:[0,1]\rightarrow \R ist stetig differenzierbar. Kettenregel: φ(t)=f(x+th)h\varphi'(t)=f'(x+th)h. Nach dem eindimensionalen Mittelwertsatz gilt: φ(1)φ(0)10=φ(1)φ(0)=φ(ϑ)\dfrac{\varphi(1)-\varphi(0)}{1-0}=\varphi(1)-\varphi(0)=\varphi'(\vartheta); also f(x+h)f(x)=f(x+ϑh)hf(x+h)-f(x)=f'(x+\vartheta h)h \qed

 
 

Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen

Für vektorwertige Funktionen gilt der Mittelwertsatz (Satz 16KJ) nicht mehr.

Beispiel

f:[0,2π]R2f:[0,2\pi]\rightarrow\R^2; f(t)=(costsint) f(t)=\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t \end{pmatrix} Wir zeigen, dass kein 0<ϑ<10<\vartheta<1 existiert, für dass f(2π)f(0)=f(ϑ2π)2πf(2\pi)- f(0)=f'(\vartheta 2\pi)2\pi gilt. Denn f(2π)f(0)=0f(2\pi)-f(0)=0, aber f(t)=((cost)left(sint))f'(t)=\begin{pmatrix} (\cos t)'\\left(\sin t)' \end{pmatrix}=(sintcost) =\begin{pmatrix} -\sin t\\\cos t \end{pmatrix}, daher gilt stets f(t)2=1||f'(t)||_2=1f(t)0t \Rightarrow f'(t)\neq 0 \, \forall t.
Um den Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen dennoch formulieren zu können, benutzen wir eine "Integralversion". Zuerst verallgemeinern wir das Riemannintegral für vektorwertige Funktionen.

Definition

Sei f:[a,b]Rmf : [a,b]\rightarrow \R^m eine vektorwertige Funktion mit den Komponenten f=(f1fm)f=\begin{pmatrix}f_1\\\vdots\\f_m \end{pmatrix}, wobei die fi:[a,b]Rf_i:[a,b]\rightarrow\R riemannintegrierbar sind. Dann heißt
abf(t)dt:=(abf1(t)dtabfm(t)dt)\int\limits_a^b f(t)\d t:=\begin{pmatrix}\int\limits_a^b f_1(t)dt\\\vdots\\\int\limits_a^bf_m(t)dt \end{pmatrix}
das R\mathcal{R} -Integral von ff über [a,b][a,b].
Wie beim Riemannintegral gilt:
  • ff ist integrierbar, wenn alle fif_i stetig sind.
  • aaf(t)dt=0\int\limits_a^a f(t)dt=0 und abf(t)dt=baf(t)dt \int\limits_a^bf(t)dt=-\int\limits_b^a f(t)dt.
Analog definiert man für A:[a,b]L(Rn,Rm)A:[a,b]\rightarrow\mathcal{L} (\R^n,\R^m) das R\mathcal{R} -Integral als:
abA(t)dt:=(abaij(t)dt)j=1,,ni=1,,m\int\limits_a^bA(t)dt:=\left(\int\limits_a^b a_{ij}(t)dt\right)_{\stackrel{i=1,\dots,m}{j=1,\dots,n}} für A(t)=(aij(t)) A(t)=(a_{ij}(t))
Es gilt abA(t)hdt\int\limits_a^bA(t)hdt=(abA(t)dt)h =\left(\int\limits_a^bA(t)dt\right)h für konstantes hRnh\in\R^n.

Satz 16KK

Für jede stetige Funktion f:[a,b]Rnf:[a,b]\rightarrow\R^n gilt:
(1)
abf(t)dt2abf(t)2dt\left|\left|\int\limits_a^bf(t)dt\right|\right|_2\leq \int\limits_a^b||f(t)||_2dt

Beweis

Sei u:=abf(t)dtRnu:=\int\limits_a^b f(t)dt\in\R^n. Dann gilt u22||u||_2^2=u,u = \spo u,u\spc=abf(t)dt,u =\spo\int\limits_a^b f(t)\d t, u\spc=abf(t),udt =\int\limits_a^b \spo f(t),u\spc \d t abf(t)2u2dt \leq \int\limits_a^b ||f(t)||_2 ||u||_2\d t (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) =(abf(t)2dt)u2 =\left(\int\limits_a^b ||f(t)_2 dt\right)||u||_2 (u2||u||_2 ist als bestimmtes Integral konstant) abf(t)dt2=u2abf(t)2dt \Rightarrow {\left|\left|\int\limits_a^b f(t)dt\right|\right|}_2=||u||_2\leq \int\limits_a^b ||f(t)||_2dt \qed
Die Ungleichung (1) gilt auch für beliebige andere Normen ||\cdot|| auf Rn\R^n

Satz 16KL (Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen)

Sei f:DRmf:D\rightarrow\R^m mit DRnD\subset \R^n offen, stetig differenzierbar und x,x+hDx,x+h\in D mit x+thDx+th\in D für 0t10\leq t\leq 1. Dann gilt
f(x+h)f(x)=(01f(x+th)dt)hf(x+h)-f(x)=\left(\int\limits_0^1 f'(x+th)dt\right)h
Ferner gilt:
f(x+h)f(x)2sup0t1f(x+th)Operatorennormh2||f(x+h)-f(x)||_2\leq \sup_{0\leq t \leq 1} \underbrace{||f'(x+th)||}_{\text{Operatorennorm}}\cdot ||h||_2
Dabei ist die Operatorennorm f(x+th)||f'(x+th)|| ein Abbildung zwischen den normierten Räumen (Rn,2)(\R^n,||\cdot||_2) und (Rm,2) (\R^m,||\cdot||_2).

Beweis

f:(f1fm)f:\begin{pmatrix}f_1\\\vdots\\f_m \end{pmatrix}, fi:DR f_i:D\rightarrow\R stetig differenzierbar. Wir definieren φi:[0,1]R\varphi_i:[0,1]\rightarrow\R; i=1,,m i=1,\dots,m und φi(t):=fi(x+th) \varphi_i(t):= f_i(x+th). φi \varphi_i ist stetig differenzierbar. Man wendet den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an: φi(1)φi(0)=01φi(t)dt\varphi_i(1)- \varphi_i(0)=\int\limits_0^1 \varphi'_i (t)\d t mit φi(t)=fi(x+th)h\varphi'_i(t)= f'_i(x+th)h. Also erhält man: fi(x+h)fi(x)=01fi(x+th)hdtf_i(x+h)-f_i(x)=\int\limits_0^1 f'_i (x+th)h\d t=(01fi(x+th)dt)h =\left(\int\limits_0^1 f'_i(x+th)dt\right)h und f(x+h)f(x)=01(f1(x+th)fm(x+th))dthf(x+h)-f(x)=\int\limits_0^1 \begin{pmatrix}f'_1(x+th)\\\vdots\\ f'_m(x+th) \end{pmatrix}\d t\cdot h=(01f(x+th)dt)h =\left(\int\limits_0^1 f(x+th)\d t\right)h. Weiterhin f(x+h)f(x)2=01f(x+th)dth||f(x+h)-f(x)||_2=\left|\left|\int\limits_0^1 f(x+th)\d t h\right|\right| 01f(x+th)dth2 \leq \left|\left|\int\limits_0^1 f\, '(x+th)dt\right|\right|\cdot||h||_2 (nach Satz 16KK) 01sup0t1f(x+th)dth2\leq \int\limits_0^1 \sup_{0\leq t\leq 1} ||f\, '(x+th)||dt \cdot ||h||_2=(sup0t1f(x+th))h2 =(\sup_{0\leq t\leq 1}||f'(x+th)||)||h||_2.

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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