Mehrdimensionale Mittelwertsätze

Satz 16KJ (Mehrdimensionaler Mittelwertsatz)

Sei f:D→Rf:D\rightarrow \R mit D⊂Rn D\subset\R^n offen, auf DD differenzierbar; x, x+h∈Dx,\, x+h\in D mit x+th∈Dx+th\in D für 0≤t≤10\leq t\leq 1. Dann gibt es ein 0<ϑ<10<\vartheta<1, so dass
f(x+h)−f(x)=f′(x+ϑh)h f(x+h)-f(x)=f'(x+\vartheta h)h

Beweis

Man wendet den eindimensionalen Mittelwertsatz an. φ(t):=f(x+th)\varphi(t):=f(x+th) mit φ:[0,1]→R \varphi:[0,1]\rightarrow \R ist stetig differenzierbar. Kettenregel: φ′(t)=f′(x+th)h\varphi'(t)=f'(x+th)h. Nach dem eindimensionalen Mittelwertsatz gilt: φ(1)−φ(0)1−0=φ(1)−φ(0)=φ′(ϑ)\dfrac{\varphi(1)-\varphi(0)}{1-0}=\varphi(1)-\varphi(0)=\varphi'(\vartheta); also f(x+h)−f(x)=f′(x+ϑh)hf(x+h)-f(x)=f'(x+\vartheta h)h □\qed

 
 

Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen

Für vektorwertige Funktionen gilt der Mittelwertsatz (Satz 16KJ) nicht mehr.

Beispiel

f:[0,2π]→R2f:[0,2\pi]\rightarrow\R^2; f(t)=(cos⁡tsin⁡t) f(t)=\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t \end{pmatrix} Wir zeigen, dass kein 0<ϑ<10<\vartheta<1 existiert, für dass f(2π)−f(0)=f′(ϑ2π)2πf(2\pi)- f(0)=f'(\vartheta 2\pi)2\pi gilt. Denn f(2π)−f(0)=0f(2\pi)-f(0)=0, aber f′(t)=((cos⁡t)′left(sin⁡t)′)f'(t)=\begin{pmatrix} (\cos t)'\\left(\sin t)' \end{pmatrix}=(−sin⁡tcos⁡t) =\begin{pmatrix} -\sin t\\\cos t \end{pmatrix}, daher gilt stets ∣∣f′(t)∣∣2=1||f'(t)||_2=1⇒f′(t)≠0 ∀t \Rightarrow f'(t)\neq 0 \, \forall t.
Um den Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen dennoch formulieren zu können, benutzen wir eine "Integralversion". Zuerst verallgemeinern wir das Riemannintegral für vektorwertige Funktionen.

Definition

Sei f:[a,b]→Rmf : [a,b]\rightarrow \R^m eine vektorwertige Funktion mit den Komponenten f=(f1⋮fm)f=\begin{pmatrix}f_1\\\vdots\\f_m \end{pmatrix}, wobei die fi:[a,b]→Rf_i:[a,b]\rightarrow\R riemannintegrierbar sind. Dann heißt
∫abf(t)d⁡t:=(∫abf1(t)dt⋮∫abfm(t)dt)\int\limits_a^b f(t)\d t:=\begin{pmatrix}\int\limits_a^b f_1(t)dt\\\vdots\\\int\limits_a^bf_m(t)dt \end{pmatrix}
das R\mathcal{R} -Integral von ff über [a,b][a,b].
Wie beim Riemannintegral gilt:
  • ff ist integrierbar, wenn alle fif_i stetig sind.
  • ∫aaf(t)dt=0\int\limits_a^a f(t)dt=0 und ∫abf(t)dt=−∫baf(t)dt \int\limits_a^bf(t)dt=-\int\limits_b^a f(t)dt.
Analog definiert man für A:[a,b]→L(Rn,Rm)A:[a,b]\rightarrow\mathcal{L} (\R^n,\R^m) das R\mathcal{R} -Integral als:
∫abA(t)dt:=(∫abaij(t)dt)j=1,…,ni=1,…,m\int\limits_a^bA(t)dt:=\left(\int\limits_a^b a_{ij}(t)dt\right)_{\stackrel{i=1,\dots,m}{j=1,\dots,n}} für A(t)=(aij(t)) A(t)=(a_{ij}(t))
Es gilt ∫abA(t)hdt\int\limits_a^bA(t)hdt=(∫abA(t)dt)h =\left(\int\limits_a^bA(t)dt\right)h für konstantes h∈Rnh\in\R^n.

Satz 16KK

Für jede stetige Funktion f:[a,b]→Rnf:[a,b]\rightarrow\R^n gilt:
∣∣∫abf(t)dt∣∣2≤∫ab∣∣f(t)∣∣2dt\left|\left|\int\limits_a^bf(t)dt\right|\right|_2\leq \int\limits_a^b||f(t)||_2dt(1)

Beweis

Sei u:=∫abf(t)dt∈Rnu:=\int\limits_a^b f(t)dt\in\R^n. Dann gilt ∣∣u∣∣22||u||_2^2=⟨u,u⟩ = \spo u,u\spc=⟨∫abf(t)d⁡t,u⟩ =\spo\int\limits_a^b f(t)\d t, u\spc=∫ab⟨f(t),u⟩d⁡t =\int\limits_a^b \spo f(t),u\spc \d t ≤∫ab∣∣f(t)∣∣2∣∣u∣∣2d⁡t \leq \int\limits_a^b ||f(t)||_2 ||u||_2\d t (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) =(∫ab∣∣f(t)2dt)∣∣u∣∣2 =\left(\int\limits_a^b ||f(t)_2 dt\right)||u||_2 (∣∣u∣∣2||u||_2 ist als bestimmtes Integral konstant) ⇒∣∣∫abf(t)dt∣∣2=∣∣u∣∣2≤∫ab∣∣f(t)∣∣2dt \Rightarrow {\left|\left|\int\limits_a^b f(t)dt\right|\right|}_2=||u||_2\leq \int\limits_a^b ||f(t)||_2dt □\qed
Die Ungleichung (1) gilt auch für beliebige andere Normen ∣∣⋅∣∣||\cdot|| auf Rn\R^n

Satz 16KL (Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen)

Sei f:D→Rmf:D\rightarrow\R^m mit D⊂RnD\subset \R^n offen, stetig differenzierbar und x,x+h∈Dx,x+h\in D mit x+th∈Dx+th\in D für 0≤t≤10\leq t\leq 1. Dann gilt
f(x+h)−f(x)=(∫01f′(x+th)dt)hf(x+h)-f(x)=\left(\int\limits_0^1 f'(x+th)dt\right)h
Ferner gilt:
∣∣f(x+h)−f(x)∣∣2≤sup⁡0≤t≤1∣∣f′(x+th)∣∣⎵Operatorennorm⋅∣∣h∣∣2||f(x+h)-f(x)||_2\leq \sup_{0\leq t \leq 1} \underbrace{||f'(x+th)||}_{\text{Operatorennorm}}\cdot ||h||_2
Dabei ist die Operatorennorm ∣∣f′(x+th)∣∣||f'(x+th)|| ein Abbildung zwischen den normierten Räumen (Rn,∣∣⋅∣∣2)(\R^n,||\cdot||_2) und (Rm,∣∣⋅∣∣2) (\R^m,||\cdot||_2).

Beweis

f:(f1⋮fm)f:\begin{pmatrix}f_1\\\vdots\\f_m \end{pmatrix}, fi:D→R f_i:D\rightarrow\R stetig differenzierbar. Wir definieren φi:[0,1]→R\varphi_i:[0,1]\rightarrow\R; i=1,…,m i=1,\dots,m und φi(t):=fi(x+th) \varphi_i(t):= f_i(x+th). φi \varphi_i ist stetig differenzierbar. Man wendet den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an: φi(1)−φi(0)=∫01φi′(t)d⁡t\varphi_i(1)- \varphi_i(0)=\int\limits_0^1 \varphi'_i (t)\d t mit φi′(t)=fi′(x+th)h\varphi'_i(t)= f'_i(x+th)h. Also erhält man: fi(x+h)−fi(x)=∫01fi′(x+th)hd⁡tf_i(x+h)-f_i(x)=\int\limits_0^1 f'_i (x+th)h\d t=(∫01fi′(x+th)dt)h =\left(\int\limits_0^1 f'_i(x+th)dt\right)h und f(x+h)−f(x)=∫01(f1′(x+th)⋮fm′(x+th))d⁡t⋅hf(x+h)-f(x)=\int\limits_0^1 \begin{pmatrix}f'_1(x+th)\\\vdots\\ f'_m(x+th) \end{pmatrix}\d t\cdot h=(∫01f(x+th)d⁡t)h =\left(\int\limits_0^1 f(x+th)\d t\right)h. Weiterhin ∣∣f(x+h)−f(x)∣∣2=∣∣∫01f(x+th)d⁡th∣∣||f(x+h)-f(x)||_2=\left|\left|\int\limits_0^1 f(x+th)\d t h\right|\right| ≤∣∣∫01f ′(x+th)dt∣∣⋅∣∣h∣∣2 \leq \left|\left|\int\limits_0^1 f\, '(x+th)dt\right|\right|\cdot||h||_2 (nach Satz 16KK) ≤∫01sup⁡0≤t≤1∣∣f ′(x+th)∣∣dt⋅∣∣h∣∣2\leq \int\limits_0^1 \sup_{0\leq t\leq 1} ||f\, '(x+th)||dt \cdot ||h||_2=(sup⁡0≤t≤1∣∣f′(x+th)∣∣)∣∣h∣∣2 =(\sup_{0\leq t\leq 1}||f'(x+th)||)||h||_2.

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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