Hauptsatz der Analysis

Der Hauptsatz der Analysis (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) sagt aus, dass es sich bei der Ableitung und dem Integral um zueinander inverse Operationen für Funktionen handelt, so wie Addition und Subtraktion für Zahlen.

Satz 15VK (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)

Sei \(\displaystyle f\) eine auf dem Intervall \(\displaystyle I\) stetige Funktion und \(\displaystyle a\in I\) ein beliebiger Punkt aus diesem Intervall. Die Funktion
\(\displaystyle F(x):=\int\limits_a^xf(t)\d t\)
ist Stammfunktion von \(\displaystyle f\), d.h. es gilt
\(\displaystyle F\, '(x)=f(x)\).
 
 

Beweis

Wir wählen ein \(\displaystyle x_0\in I\) und bilden den Differenzenquotienten der Funktion \(\displaystyle F\):
(1)
\(\displaystyle \dfrac {F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\dfrac 1 {x-x_0} \int\limits_{x_0}^xf(t)\, \d t\) (nach Satz 15VL)
Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein \(\displaystyle \xi\in [x,x_0]\) mit
(2)
\(\displaystyle \int\limits_{x_0}^xf(t)\d t=(x-x_0)f(\xi)\).
Aus (1) und (2) ergibt sich:
\(\displaystyle \dfrac {F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=f(\xi)\).
Bilden wir nun den Grenzwert \(\displaystyle x\rightarrow x_0\) strebt die rechte Seite wegen der Stetigkeit von \(\displaystyle f\) gegen \(\displaystyle f(x_0)\) und die linke Seite gegen \(\displaystyle F\, '(x_0)\), also
\(\displaystyle F\, '(x_0)=f(x_0)\).
\(\displaystyle x_0\in I\) war beliebig gewählt, also gilt die Behauptung. \(\displaystyle \qed\)

In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.

K. Urbanik

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