Uneigentliche Integrale

Motivation

Das bestimmte Integral war unter der Voraussetzung definiert, dass sowohl das Integrationsintervall, als auch die zu integrierende Funktion beschränkt sind. Ist eine dieser Voraussetzungen nicht erfüllt, so verliert die Definition vorerst ihren Sinn. So sind Integrale wie 1dxx2\int\limits_1^\infty \dfrac{\d x}{x^2} erst einmal nicht definiert.
Ist ff integrierbar über [a,b][a,b], so gilt nach Satz 5316A
limrbarf  dx=abf  dx\lim_{r \to b-} \int\limits_a^r f\; dx = \int\limits_a^b f \; dx ,
was die folgenden Definitionen motiviert.
 
 

Definition

Vereinbarungen

Ist IRI \subset \R ein Intervall und f:IRf : I \to \R eine Funktion, so sei ff über jedem Teilintervall von II integrierbar und es sei stets a,bRa, b \in \R , αR{} \alpha \in \R \cup \{-\infty\} und βR{} \beta \in \R \cup \{\infty\} mit α<β\alpha < \beta und a<ba < b.

Definition uneigentliches Integral

Sei f:[a,β[Rf: [a, \beta[ \to \R (bzw. f:]α,b]Rf: ]\alpha, b] \to \R) eine Funktion. Das uneigentliche Integral aβf(x)  dx\int\limits_a^\beta f(x) \; dx (bzw. αbf(x)  dx \int\limits_\alpha^b f(x) \; dx ) heißt konvergent falls der Grenzwert limrβarf(x)  dx \lim_{r \to \beta-} \int\limits_a^r f(x) \; dx (bzw. limrα+rbf(x)  dx \lim_{r \to \alpha+} \int\limits_r^b f(x) \; dx ) existiert. In diesem Fall setzen wir:
aβf(x)  dx:=limrβarf(x)  dx \int\limits_a^\beta f(x) \; dx := \lim_{r \to \beta-} \int\limits_a^r f(x) \; dx (bzw. αbf(x)  dx:=limrα+rbf(x)  dx \int\limits_\alpha^b f(x) \; dx := \lim_{r \to \alpha+} \int\limits_r^b f(x) \; dx )
Ein nicht konvergentes uneigentliches Integral heißt divergent.

Beispiele

1dxx2=limc1cdxx2\int\limits_1^\infty \dfrac{\d x}{x^2}=\lim_{c\rightarrow\infty} \int\limits_1^c \dfrac{\d x}{x^2} =limc[1x]1c=\lim_{c\rightarrow\infty}\, {\ntxbraceL{\dfrac \me x}}_1^c =limc(11c)=1=\lim_{c\rightarrow\infty}\, \braceNT{1-\dfrac 1 c}=1

Beispiel 16QM

Allgemein: sei α>0\alpha>0, t>1t >1.
1t1xα  dx={lntfu¨α=111α(t1α1)fu¨α1\int\limits_1^t \dfrac{1}{x^\alpha}\; dx=\begin{cases}\ln t&\text{für }\alpha=1\\\dfrac{1}{1-\alpha}(t^{1-\alpha}-1)&\text{für }\alpha\neq 1\end{cases}
11xα  dx\Rightarrow\quad \int\limits_1^\infty \dfrac{1}{x^\alpha}\; dx konvergiert   α>1 \Leftrightarrow\; \alpha>1
t11xα  dx={1lntfu¨α=111α(1t1α)fu¨α1\int\limits_t^1 \dfrac{1}{x^\alpha}\; dx=\begin{cases}1-\ln t&\text{für }\alpha=1\\\dfrac{1}{1-\alpha}(1-t^{1-\alpha})&\text{für }\alpha\neq 1\end{cases}
011xα  dx\int\limits_0^1 \dfrac{1}{x^\alpha}\; dx konvergiert   α<1 \Leftrightarrow\; \alpha<1.

1_wu1-x2.png
Die Funktion y=11x2{ y=\dfrac 1{\sqrt{1-x^2}}}
Die Funktion f(x)=11x2f(x)=\dfrac 1{\sqrt{1-x^2}} ist für x=1x=1 unbeschränkt. Unter Benutzung von Satz 5315A ermitteln wir:
01dx1x2=limϵ+001ϵdx1x2\int\limits_0^1\dfrac {\d x}{\sqrt{1-x^2}}=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\int\limits_0^{1-\epsilon}\dfrac {\d x}{\sqrt{1-x^2}} =limϵ+0[arcsinx]01ϵ=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}{\ntxbraceL{\arcsin x}}_0^{1-\epsilon} =limϵ+0[arcsin(1ϵ)arcsin(0)]=π2=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}[\arcsin(1-\epsilon)-\arcsin(0)]=\dfrac \pi 2

Beispiel 16QN

0t11+x2  dx=arctan(t)tπ2\int\limits_0^t \dfrac{1}{1+x^2}\; dx=\arctan(t)\xrightarrow{t\to\infty} \dfrac{\pi}{2}   011+x2  dx\Rightarrow\; \int\limits_0^\infty \dfrac{1}{1+x^2}\; dx ist konvergent und =π2 = \dfrac{\pi}{2}. Analog: 011+x2  dx=π2\int\limits_{-\infty}^0\dfrac{1}{1+x^2}\; dx = \dfrac{\pi}{2}.

Definition

Sei f:]α,β[Rf:]\alpha,\beta[ \to \R eine Funktion. Das uneigentliche Integral αβf(x)  dx\int\limits_\alpha^\beta f(x) \; dx heißt konvergent :    c]α,β[ :\Leftrightarrow\;\; \exists c \in ]\alpha,\beta[ , sodass αcf(x)dx \int\limits_\alpha^c f(x) dx und cβf(x)dx \int\limits_c^\beta f(x) \, dx konvergent sind. In diesem Fall setzen wir:
αβf(x)dx:=αcf(x)dx+cβf(x)dx\int\limits_\alpha^\beta f(x) dx := \int\limits_\alpha^c f(x) dx + \int\limits_c^\beta f(x) dx\,
Diese Definition hängt nicht von der Wahl von cc ab.

Beispiel

xdx \int\limits_{-\infty}^\infty x \, dx ist divergiert, da für beliebiges cRc\in\R das unbestimmte Integral cxdx\int\limits_c^\infty x \, dx divergiert. Achtung! Es ist jedoch limrrrxdx=0\lim_{r \to \infty} \int\limits_{-r}^r x \, dx = 0.

Sei α>0\alpha > 0. Nach Beispiel 16QM weiter oben ist 01xα\int\limits_0^\infty \dfrac{1}{x^\alpha} divergent. Nach Beispiel 16QN weiter oben konvergiert 11+x2  dx\int\limits_{-\infty}^\infty \dfrac{1}{1+x^2} \; dx und ist gleich π\pi.

Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom Radius Null und nennen ihn ihren Standpunkt.

David Hilbert

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