Uneigentliche Integrale

Motivation

Das bestimmte Integral war unter der Voraussetzung definiert, dass sowohl das Integrationsintervall, als auch die zu integrierende Funktion beschränkt sind. Ist eine dieser Voraussetzungen nicht erfüllt, so verliert die Definition vorerst ihren Sinn. So sind Integrale wie ∫1∞d⁡xx2\int\limits_1^\infty \dfrac{\d x}{x^2} erst einmal nicht definiert.
Ist ff integrierbar über [a,b][a,b], so gilt nach Satz 5316A
lim⁡r→b−∫arf  dx=∫abf  dx\lim_{r \to b-} \int\limits_a^r f\; dx = \int\limits_a^b f \; dx ,
was die folgenden Definitionen motiviert.
 
 

Definition

Vereinbarungen

Ist I⊂RI \subset \R ein Intervall und f:I→Rf : I \to \R eine Funktion, so sei ff über jedem Teilintervall von II integrierbar und es sei stets a,b∈Ra, b \in \R , α∈R∪{−∞} \alpha \in \R \cup \{-\infty\} und β∈R∪{∞} \beta \in \R \cup \{\infty\} mit α<β\alpha < \beta und a<ba < b.

Definition uneigentliches Integral

Sei f:[a,β[→Rf: [a, \beta[ \to \R (bzw. f:]α,b]→Rf: ]\alpha, b] \to \R) eine Funktion. Das uneigentliche Integral ∫aβf(x)  dx\int\limits_a^\beta f(x) \; dx (bzw. ∫αbf(x)  dx \int\limits_\alpha^b f(x) \; dx ) heißt konvergent falls der Grenzwert lim⁡r→β−∫arf(x)  dx \lim_{r \to \beta-} \int\limits_a^r f(x) \; dx (bzw. lim⁡r→α+∫rbf(x)  dx \lim_{r \to \alpha+} \int\limits_r^b f(x) \; dx ) existiert. In diesem Fall setzen wir:
∫aβf(x)  dx:=lim⁡r→β−∫arf(x)  dx \int\limits_a^\beta f(x) \; dx := \lim_{r \to \beta-} \int\limits_a^r f(x) \; dx (bzw. ∫αbf(x)  dx:=lim⁡r→α+∫rbf(x)  dx \int\limits_\alpha^b f(x) \; dx := \lim_{r \to \alpha+} \int\limits_r^b f(x) \; dx )
Ein nicht konvergentes uneigentliches Integral heißt divergent.

Beispiele

∫1∞d⁡xx2=lim⁡c→∞∫1cd⁡xx2\int\limits_1^\infty \dfrac{\d x}{x^2}=\lim_{c\rightarrow\infty} \int\limits_1^c \dfrac{\d x}{x^2} =lim⁡c→∞ [−1x]1c=\lim_{c\rightarrow\infty}\, {\ntxbraceL{\dfrac \me x}}_1^c =lim⁡c→∞ (1−1c)=1=\lim_{c\rightarrow\infty}\, \braceNT{1-\dfrac 1 c}=1

Beispiel 16QM

Allgemein: sei α>0\alpha>0, t>1t >1.
∫1t1xα  dx={ln⁡tfu¨r α=111−α(t1−α−1)fu¨r α≠1\int\limits_1^t \dfrac{1}{x^\alpha}\; dx=\begin{cases}\ln t&\text{für }\alpha=1\\\dfrac{1}{1-\alpha}(t^{1-\alpha}-1)&\text{für }\alpha\neq 1\end{cases}
⇒∫1∞1xα  dx\Rightarrow\quad \int\limits_1^\infty \dfrac{1}{x^\alpha}\; dx konvergiert ⇔  α>1 \Leftrightarrow\; \alpha>1
∫t11xα  dx={1−ln⁡tfu¨r α=111−α(1−t1−α)fu¨r α≠1\int\limits_t^1 \dfrac{1}{x^\alpha}\; dx=\begin{cases}1-\ln t&\text{für }\alpha=1\\\dfrac{1}{1-\alpha}(1-t^{1-\alpha})&\text{für }\alpha\neq 1\end{cases}
∫011xα  dx\int\limits_0^1 \dfrac{1}{x^\alpha}\; dx konvergiert ⇔  α<1 \Leftrightarrow\; \alpha<1.

1_wu1-x2.png
Die Funktion y=11−x2{ y=\dfrac 1{\sqrt{1-x^2}}}
Die Funktion f(x)=11−x2f(x)=\dfrac 1{\sqrt{1-x^2}} ist für x=1x=1 unbeschränkt. Unter Benutzung von Satz 5315A ermitteln wir:
∫01d⁡x1−x2=lim⁡ϵ→+0∫01−ϵd⁡x1−x2\int\limits_0^1\dfrac {\d x}{\sqrt{1-x^2}}=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\int\limits_0^{1-\epsilon}\dfrac {\d x}{\sqrt{1-x^2}} =lim⁡ϵ→+0[arcsin⁡x]01−ϵ=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}{\ntxbraceL{\arcsin x}}_0^{1-\epsilon} =lim⁡ϵ→+0[arcsin⁡(1−ϵ)−arcsin⁡(0)]=π2=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}[\arcsin(1-\epsilon)-\arcsin(0)]=\dfrac \pi 2

Beispiel 16QN

∫0t11+x2  dx=arctan⁡(t)→t→∞π2\int\limits_0^t \dfrac{1}{1+x^2}\; dx=\arctan(t)\xrightarrow{t\to\infty} \dfrac{\pi}{2} ⇒  ∫0∞11+x2  dx\Rightarrow\; \int\limits_0^\infty \dfrac{1}{1+x^2}\; dx ist konvergent und =π2 = \dfrac{\pi}{2}. Analog: ∫−∞011+x2  dx=π2\int\limits_{-\infty}^0\dfrac{1}{1+x^2}\; dx = \dfrac{\pi}{2}.

Definition

Sei f:]α,β[→Rf:]\alpha,\beta[ \to \R eine Funktion. Das uneigentliche Integral ∫αβf(x)  dx\int\limits_\alpha^\beta f(x) \; dx heißt konvergent :⇔    ∃c∈]α,β[ :\Leftrightarrow\;\; \exists c \in ]\alpha,\beta[ , sodass ∫αcf(x)dx \int\limits_\alpha^c f(x) dx und ∫cβf(x) dx \int\limits_c^\beta f(x) \, dx konvergent sind. In diesem Fall setzen wir:
∫αβf(x)dx:=∫αcf(x)dx+∫cβf(x)dx \int\limits_\alpha^\beta f(x) dx := \int\limits_\alpha^c f(x) dx + \int\limits_c^\beta f(x) dx\,
Diese Definition hängt nicht von der Wahl von cc ab.

Beispiel

∫−∞∞x dx \int\limits_{-\infty}^\infty x \, dx ist divergiert, da für beliebiges c∈Rc\in\R das unbestimmte Integral ∫c∞x dx\int\limits_c^\infty x \, dx divergiert. Achtung! Es ist jedoch lim⁡r→∞∫−rrx dx=0\lim_{r \to \infty} \int\limits_{-r}^r x \, dx = 0.

Sei α>0\alpha > 0. Nach Beispiel 16QM weiter oben ist ∫0∞1xα\int\limits_0^\infty \dfrac{1}{x^\alpha} divergent. Nach Beispiel 16QN weiter oben konvergiert ∫−∞∞11+x2  dx\int\limits_{-\infty}^\infty \dfrac{1}{1+x^2} \; dx und ist gleich π\pi.

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.

David Hilbert

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