Uneigentliche Integrale

Motivation

Das bestimmte Integral war unter der Voraussetzung definiert, dass sowohl das Integrationsintervall, als auch die zu integrierende Funktion beschränkt sind. Ist eine dieser Voraussetzungen nicht erfüllt, so verliert die Definition vorerst ihren Sinn. So sind Integrale wie \(\displaystyle \int\limits_1^\infty \dfrac{\d x}{x^2}\) erst einmal nicht definiert.
Ist \(\displaystyle f\) integrierbar über \(\displaystyle [a,b]\), so gilt nach Satz 5316A
\(\displaystyle \lim_{r \to b-} \int\limits_a^r f\; dx = \int\limits_a^b f \; dx \),
was die folgenden Definitionen motiviert.
 
 

Definition

Vereinbarungen

Ist \(\displaystyle I \subset \R\) ein Intervall und \(\displaystyle f : I \to \R\) eine Funktion, so sei \(\displaystyle f\) über jedem Teilintervall von \(\displaystyle I\) integrierbar und es sei stets \(\displaystyle a, b \in \R \), \(\displaystyle \alpha \in \R \cup \{-\infty\} \) und \(\displaystyle \beta \in \R \cup \{\infty\}\) mit \(\displaystyle \alpha < \beta\) und \(\displaystyle a < b\).

Definition uneigentliches Integral

Sei \(\displaystyle f: [a, \beta[ \to \R\) (bzw. \(\displaystyle f: ]\alpha, b] \to \R\)) eine Funktion. Das uneigentliche Integral \(\displaystyle \int\limits_a^\beta f(x) \; dx\) (bzw. \(\displaystyle \int\limits_\alpha^b f(x) \; dx \)) heißt konvergent falls der Grenzwert \(\displaystyle \lim_{r \to \beta-} \int\limits_a^r f(x) \; dx \) (bzw. \(\displaystyle \lim_{r \to \alpha+} \int\limits_r^b f(x) \; dx \)) existiert.In diesem Fall setzen wir:
\(\displaystyle \int\limits_a^\beta f(x) \; dx := \lim_{r \to \beta-} \int\limits_a^r f(x) \; dx \) (bzw. \(\displaystyle \int\limits_\alpha^b f(x) \; dx := \lim_{r \to \alpha+} \int\limits_r^b f(x) \; dx \))
Ein nicht konvergentes uneigentliches Integral heißt divergent.

Beispiele

\(\displaystyle \int\limits_1^\infty \dfrac{\d x}{x^2}=\lim_{c\rightarrow\infty} \int\limits_1^c \dfrac{\d x}{x^2}\) \(\displaystyle =\lim_{c\rightarrow\infty}\, {\ntxbraceL{\dfrac \me x}}_1^c\) \(\displaystyle =\lim_{c\rightarrow\infty}\, \braceNT{1-\dfrac 1 c}=1\)

Beispiel 16QM

Allgemein: sei \(\displaystyle \alpha>0\), \(\displaystyle t >1\).
\(\displaystyle \int\limits_1^t \dfrac{1}{x^\alpha}\; dx=\begin{cases}\ln t&\text{für }\alpha=1\\\dfrac{1}{1-\alpha}(t^{1-\alpha}-1)&\text{für }\alpha\neq 1\end{cases}\)
\(\displaystyle \Rightarrow\quad \int\limits_1^\infty \dfrac{1}{x^\alpha}\; dx\) konvergiert \(\displaystyle \Leftrightarrow\; \alpha>1\)
\(\displaystyle \int\limits_t^1 \dfrac{1}{x^\alpha}\; dx=\begin{cases}1-\ln t&\text{für }\alpha=1\\\dfrac{1}{1-\alpha}(1-t^{1-\alpha})&\text{für }\alpha\neq 1\end{cases}\)
\(\displaystyle \int\limits_0^1 \dfrac{1}{x^\alpha}\; dx\) konvergiert \(\displaystyle \Leftrightarrow\; \alpha<1\).
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Die Funktion \(\displaystyle { y=\dfrac 1{\sqrt{1-x^2}}}\)
Die Funktion \(\displaystyle f(x)=\dfrac 1{\sqrt{1-x^2}}\) ist für \(\displaystyle x=1\) unbeschränkt. Unter Benutzung von Satz 5315A ermitteln wir:
\(\displaystyle \int\limits_0^1\dfrac {\d x}{\sqrt{1-x^2}}=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\int\limits_0^{1-\epsilon}\dfrac {\d x}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\displaystyle =\lim_{\epsilon\rightarrow+0}{\ntxbraceL{\arcsin x}}_0^{1-\epsilon}\) \(\displaystyle =\lim_{\epsilon\rightarrow+0}[\arcsin(1-\epsilon)-\arcsin(0)]=\dfrac \pi 2\)

Beispiel 16QN

\(\displaystyle \int\limits_0^t \dfrac{1}{1+x^2}\; dx=\arctan(t)\xrightarrow{t\to\infty} \dfrac{\pi}{2}\) \(\displaystyle \Rightarrow\; \int\limits_0^\infty \dfrac{1}{1+x^2}\; dx\) ist konvergent und \(\displaystyle = \dfrac{\pi}{2}\). Analog: \(\displaystyle \int\limits_{-\infty}^0\dfrac{1}{1+x^2}\; dx = \dfrac{\pi}{2}\).

Definition

Sei \(\displaystyle f:]\alpha,\beta[ \to \R\) eine Funktion. Das uneigentliche Integral \(\displaystyle \int\limits_\alpha^\beta f(x) \; dx\) heißt konvergent \(\displaystyle :\Leftrightarrow\;\; \exists c \in ]\alpha,\beta[ \), sodass \(\displaystyle \int\limits_\alpha^c f(x) dx \) und \(\displaystyle \int\limits_c^\beta f(x) \, dx\) konvergent sind. In diesem Fall setzen wir:
\(\displaystyle \int\limits_\alpha^\beta f(x) dx := \int\limits_\alpha^c f(x) dx + \int\limits_c^\beta f(x) dx\, \)
Diese Definition hängt nicht von der Wahl von \(\displaystyle c\) ab.

Beispiel

\(\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty x \, dx\) ist divergiert, da für beliebiges \(\displaystyle c\in\R\) das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int\limits_c^\infty x \, dx\) divergiert.Achtung! Es ist jedoch \(\displaystyle \lim_{r \to \infty} \int\limits_{-r}^r x \, dx = 0\).
Sei \(\displaystyle \alpha > 0\). Nach Beispiel 16QM weiter oben ist \(\displaystyle \int\limits_0^\infty \dfrac{1}{x^\alpha}\) divergent.Nach Beispiel 16QN weiter oben konvergiert \(\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty \dfrac{1}{1+x^2} \; dx \) und ist gleich \(\displaystyle \pi\).

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

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