Uneigentliche Integrale und konvergente Reihen

Der folgende Satz stellt einen einfachen Zusammenhang zwischen der Konvergenz eines uneigentlichen Integrals und einer unendlichen Reihe her.

Satz 16R6

Sei \(\displaystyle f: [1,\infty[ \to \R\) mit \(\displaystyle f(x)>0\) \(\displaystyle \forall x\in [1,\infty[\) und \(\displaystyle f\) monoton fallend. Dann ist \(\displaystyle f\in R[1,t]\) riemannintegrierbar für alle \(\displaystyle t>1\) und es gilt:
\(\displaystyle \int\limits_1^\infty f(x)\; dx \) ist konvergent \(\displaystyle \, \Leftrightarrow\; \sum\limits_{k=1}^\infty f(k) \) konvergiert.
 
 

Beweis

Aus Satz 16MG ergibt sich, dass \(\displaystyle f\) riemannintegrierbar ist.
Im weiteren Verlauf des Beweises benutzen wir folgende Abschätzung:\(\displaystyle \forall k\in\N \;\forall x\in [k,\;k+1]\) gilt \(\displaystyle f(k)\geq f(x)\geq f(k+1)\), da \(\displaystyle f\) monoton fallend.\(\displaystyle \Rightarrow\;\; \underbrace{\int\limits_k^{k+1} f(k)\; dx}_{=f(k)} \geq\int\limits_k^{k+1} f(x)\; dx \geq \underbrace{\int\limits_k^{k+1}f(k+1)\; dx}_{=f(k+1)}\) \(\displaystyle \forall k\in\N\) Und nach Aufsummieren:
(1)
\(\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n f(k)\geq \int\limits_1^{n+1} f(x)\; dx \geq \sum\limits_{k=2}^{n+1} f(k)\)
Ist nun \(\displaystyle \int\limits_1^\infty f(x)\; dx\) konvergent, so ist \(\displaystyle \left(\int\limits_1^{n+1}f(x)\; dx\right)_{n\in\N}\) beschränkt und nach (1) ist also \(\displaystyle \left(\sum\limits_{k=2}^{n+1} f(k)\right)_{n\in\N}\) beschränkt.
\(\displaystyle \Rightarrow\;\; \sum\limits_{k=1}^\infty f(k)\) ist konvergent.
Sei umgekehrt \(\displaystyle \sum\limits\limits_{k=1}^\infty f(k)\) konvergent, dann ist nach (1) \(\displaystyle \left(\int\limits_1^{n+1} f(x)\; dx\right)_{n\in\N} \text{ beschränkt}\).Ferner ist diese Folge von Integralen monoton wachsend (da \(\displaystyle f>0\)), also nach Satz 5225A konvergent. Damit existiert \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \int\limits_1^n f(x)\; dx\).
Nun ist \(\displaystyle \int\limits_1^t f(x)\; dx\) eine monoton wachsende Funktion in Abhängigkeit von \(\displaystyle t\), daher existiert \(\displaystyle \lim_{t\to\infty} \int\limits_1^t f(x)\; dx \)\(\displaystyle \Rightarrow\;\; \int\limits_1^\infty f(x)\; dx\) ist konvergent. \(\displaystyle \qed\)

Die Furcht vor der Mathematik steht der Angst erheblich näher als der Ehrfurcht.

Felix Auerbach

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