Uneigentliche Integrale und konvergente Reihen
Satz 16R6
Sei
f : [ 1 , ∞ [ → R f: [1,\infty[ \to \R f : [ 1 , ∞ [ → R mit
f ( x ) > 0 f(x)>0 f ( x ) > 0 ∀ x ∈ [ 1 , ∞ [ \forall x\in [1,\infty[ ∀ x ∈ [ 1 , ∞ [ und
f f f monoton fallend . Dann ist
f ∈ R [ 1 , t ] f\in R[1,t] f ∈ R [ 1 , t ] riemannintegrierbar für alle
t > 1 t>1 t > 1 und es gilt:
∫ 1 ∞ f ( x ) d x \int\limits_1^\infty f(x)\; dx 1 ∫ ∞ f ( x ) d x konvergent ⇔ ∑ k = 1 ∞ f ( k ) \, \Leftrightarrow\; \sum\limits_{k=1}^\infty f(k) ⇔ k = 1 ∑ ∞ f ( k ) Beweis
Im weiteren Verlauf des Beweises benutzen wir folgende Abschätzung:
∀ k ∈ N ∀ x ∈ [ k , k + 1 ] \forall k\in\N \;\forall x\in [k,\;k+1] ∀ k ∈ N ∀ x ∈ [ k , k + 1 ] gilt
f ( k ) ≥ f ( x ) ≥ f ( k + 1 ) f(k)\geq f(x)\geq f(k+1) f ( k ) ≥ f ( x ) ≥ f ( k + 1 ) , da
f f f monoton fallend .
⇒ ∫ k k + 1 f ( k ) d x ⎵ = f ( k ) ≥ ∫ k k + 1 f ( x ) d x ≥ ∫ k k + 1 f ( k + 1 ) d x ⎵ = f ( k + 1 ) \Rightarrow\;\; \underbrace{\int\limits_k^{k+1} f(k)\; dx}_{=f(k)} \geq\int\limits_k^{k+1} f(x)\; dx \geq \underbrace{\int\limits_k^{k+1}f(k+1)\; dx}_{=f(k+1)} ⇒ = f ( k ) k ∫ k + 1 f ( k ) d x ≥ k ∫ k + 1 f ( x ) d x ≥ = f ( k + 1 ) k ∫ k + 1 f ( k + 1 ) d x ∀ k ∈ N \forall k\in\N ∀ k ∈ N Und nach Aufsummieren:
∑ k = 1 n f ( k ) ≥ ∫ 1 n + 1 f ( x ) d x ≥ ∑ k = 2 n + 1 f ( k ) \sum\limits_{k=1}^n f(k)\geq \int\limits_1^{n+1} f(x)\; dx \geq \sum\limits_{k=2}^{n+1} f(k) k = 1 ∑ n f ( k ) ≥ 1 ∫ n + 1 f ( x ) d x ≥ k = 2 ∑ n + 1 f ( k ) (1) Ist nun
∫ 1 ∞ f ( x ) d x \int\limits_1^\infty f(x)\; dx 1 ∫ ∞ f ( x ) d x konvergent , so ist
( ∫ 1 n + 1 f ( x ) d x ) n ∈ N \left(\int\limits_1^{n+1}f(x)\; dx\right)_{n\in\N} ( 1 ∫ n + 1 f ( x ) d x ) n ∈ N beschränkt und nach
(1) ist also
( ∑ k = 2 n + 1 f ( k ) ) n ∈ N \left(\sum\limits_{k=2}^{n+1} f(k)\right)_{n\in\N} ( k = 2 ∑ n + 1 f ( k ) ) n ∈ N beschränkt .
⇒ ∑ k = 1 ∞ f ( k ) \Rightarrow\;\; \sum\limits_{k=1}^\infty f(k) ⇒ k = 1 ∑ ∞ f ( k ) konvergent . Sei umgekehrt
∑ k = 1 ∞ f ( k ) \sum\limits\limits_{k=1}^\infty f(k) k = 1 ∑ ∞ f ( k ) konvergent , dann ist nach
(1) ( ∫ 1 n + 1 f ( x ) d x ) n ∈ N beschr a ¨ nkt \left(\int\limits_1^{n+1} f(x)\; dx\right)_{n\in\N} \text{ beschränkt} ( 1 ∫ n + 1 f ( x ) d x ) n ∈ N beschr a ¨ nkt . Ferner ist diese
Folge von
Integralen monoton wachsend (da
f > 0 f>0 f > 0 ), also nach
Satz 5225A konvergent . Damit existiert
lim n → ∞ ∫ 1 n f ( x ) d x \lim_{n\to\infty} \int\limits_1^n f(x)\; dx lim n → ∞ 1 ∫ n f ( x ) d x .
Nun ist
∫ 1 t f ( x ) d x \int\limits_1^t f(x)\; dx 1 ∫ t f ( x ) d x eine
monoton wachsende
Funktion in Abhängigkeit von
t t t , daher existiert
lim t → ∞ ∫ 1 t f ( x ) d x \lim_{t\to\infty} \int\limits_1^t f(x)\; dx lim t → ∞ 1 ∫ t f ( x ) d x ⇒ ∫ 1 ∞ f ( x ) d x \Rightarrow\;\; \int\limits_1^\infty f(x)\; dx ⇒ 1 ∫ ∞ f ( x ) d x ist
konvergent .
□ \qed □ Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom Radius Null und nennen ihn ihren Standpunkt.
David Hilbert
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