Das Riemann-Integral

Seien a,b∈Ra,b\in\R mit a<ba<b und f:[a,b]→Rf:[a,b]\to \R sei beschränkt. m:=inf⁡f([a,b])m:=\inf f\left([a,b]\right); M:=sup⁡f([a,b])M:=\sup f\left([a,b]\right).

Ober- und Untersummen

Z={x0,x1,x2,…,xn}Z=\{x_0,x_1,x_2,\ldots,x_n\} heißt eine Zerlegung des Intervalls [a,b][a,b], wenn
a=x0<x1<x2<⋯<xn=ba=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n=b
Z\mathcal{Z} sei die Menge der Zerlegungen von [a,b][a,b]. Weitere Bezeichnungen:
OUSumme.png
Ober- und Untersummen
  • Ij:=[xj−1,xj]I_j:=[x_{j-1}, x_j] für j=1,…nj=1,\ldots n
  • ∣Ij∣:=xj−xj−1|I_j|:= x_j-x_{j-1} ist die Länge von IjI_j
  • mj:=inf⁡f(Ij)m_j:=\inf f(I_j), Mj:=sup⁡f(Ij) M_j:=\sup f(I_j)
  • sf(Z):=∑j=1nmj⋅∣Ij∣s_f(Z):=\sum\limits_{j=1}^n m_j\cdot |I_j| heißt die Untersumme von ff bezüglich der Zerlegung ZZ
  • Sf(Z):=∑j=1nMj⋅∣Ij∣S_f(Z):=\sum\limits_{j=1}^n M_j\cdot |I_j| heißt die Obersumme von ff bezüglich ZZ
Es ist m≤mj≤Mj≤Mm\leq m_j\leq M_j\leq M und wegen ∣Ij∣>0|I_j| > 0 gilt daher:
∑j=1nm∣Ij∣⎵m(b−a)≤∑j=1nmj∣Ij∣⎵sf(Z)\underbrace{\sum\limits_{j=1}^n m |I_j|}_{m(b-a)} \leq \underbrace{\sum\limits_{j=1}^n m_j |I_j|}_{s_f(Z)} ≤∑j=1nMj∣Ij∣⎵Sf(Z)≤∑j=1nM∣Ij∣⎵M(b−a)\leq \underbrace{\sum\limits_{j=1}^n M_j |I_j|}_{S_f(Z)} \leq \underbrace{\sum\limits_{j=1}^n M |I_j|}_{M(b-a)}
⇒  ∀  Z∈Z\Rightarrow\;\forall \; Z \in \mathcal{Z} gilt:m(b−a) ≤ sf(Z) ≤ Sf(Z) ≤ M(b−a)m(b-a)\,\leq\, s_f(Z)\,\leq\, S_f(Z)\,\leq\, M(b-a).
Sind Z1Z_1, Z2Z_2 Zerlegungen von [a,b][a,b], so heißt Z2Z_2 Verfeinerung von Z1Z_1, wenn Z2⊃Z1Z_2\supset Z_1.
 
 

Satz 16MD

Z1Z_1, Z2Z_2 seien Zerlegungen von [a,b][a,b].
  1. Ist Z2Z_2 Verfeinerung von Z1Z_1, so gilt
    sf(Z1)≤sf(Z2)undSf(Z2)≤Sf(Z1)s_f(Z_1)\leq s_f(Z_2) \quad \text{und} \quad S_f(Z_2)\leq S_f(Z_1)
  2. sf(Z1)≤Sf(Z2)s_f(Z_1)\leq S_f(Z_2)
(i) bedeutet, dass bei der Verfeinerung von Zerlegungen die Untersummen größer und die Obersummen kleiner werden. Nach (ii) ist es jedoch nicht möglich, dass die Untersummen größer als die Obersumme einer beliebigen aber festen Zerlegung werden. bzw. die Obersummen kleiner als die Untersumme einer beliebigen aber festen Zerlegung.

Beweis

(i) Wir zeigen nur die Ungleichung für die Untersummen (Obersummen analog). Sei Z1={x0,…,xn}Z_1=\{x_0,\ldots, x_n\}. Es genügt, den Fall Z2=Z1∪{ξ}Z_2=Z_1\cup \{\xi\}, wobei ξ∉Z1\xi\notin Z_1, zu betrachten, die Verallgemeinerung kann dann durch vollständige Induktion bewiesen werden. Es gibt nun ein jj, sodass xj−1<ξ<xjx_{j-1}<\xi < x_j. sf(Z2)=∑k=1j−1mk∣Ik∣s_f(Z_2)=\sum\limits_{k=1}^{j-1} m_k|I_k| +inf⁡f([xj−1,ξ])⎵≥mj⋅(ξ−xj−1)+ \underbrace{\inf f\left([x_{j-1},\xi]\right)}_{\geq m_j}\cdot (\xi-x_{j-1}) +inf⁡f([ξ,xj])⎵≥mj⋅(xj−ξ)+ \underbrace{\inf f\left([\xi, x_j]\right)}_{\geq m_j}\cdot (x_j-\xi) +∑k=jnmk∣Ik∣+\sum\limits_{k=j}^n m_k|I_k| ≥∑k=1j−1mk∣Ik∣ \geq \sum\limits_{k=1}^{j-1} m_k|I_k|+mj(ξ−xj−1)+mj(xj−ξ)⎵=mj∣Ij∣+ \underbrace{m_j(\xi-x_{j-1})+m_j(x_j-\xi)}_{=m_j|I_j|}+∑k=j+1nmk∣Ik∣+\sum\limits_{k=j+1}^n m_k|I_k| =sf(Z1) =s_f(Z_1). (ii): Z:=Z1∪Z2Z:= Z_1\cup Z_2 ist Verfeinerung sowohl von Z1Z_1 als auch von Z2Z_2. Nach (i) folgt: sf(Z1) ≤ sf(Z) ≤ Sf(Z) ≤ Sf(Z2) s_f(Z_1)\,\leq\, s_f(Z) \,\leq\, S_f(Z) \,\leq\, S_f(Z_2). □\qed

Ist Z1Z_1 beliebige, fest gewählte Zerlegung von [a,b][a,b], so gilt nach Satz 16MD (ii):
sf(Z)≤Sf(Z1)s_f(Z)\leq S_f(Z_1) für jede Zerlegung ZZ von [a,b][a,b]
Die Menge der Untersummen sf(Z)s_f(Z) ist nach oben beschränkt und nach dem Vollständigkeitsaxiom existiert das Supremum:
sf:=sup⁡{sf(Z):  Zs_f:=\sup \{s_f(Z):\; Z Zerlegung von [a,b]}[a,b]\}
und es gilt: sf≤Sf(Z1)s_f\leq S_f(Z_1) für jede Zerlegung Z1Z_1 von [a,b][a,b] Daher existiert ebenso
Sf=inf⁡{Sf(Z1):  Z1S_f=\inf \{S_f(Z_1):\; Z_1 Zerlegung von [a,b]}[a,b]\}
und es gilt:
sf≤Sfs_f\leq S_f.
Man nennt sfs_f das untere Integral von ff und SfS_f das obere Integral von ff.

Definition des Riemannintegrals

Die Funktion f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\R heißt riemann-integrierbar über [a,b][a,b], wenn unteres und oberes Integral existiert und übereinstimmt, also sf=Sfs_f=S_f. In diesem Fall heißt
∫abf(x) dx:=Sf=sf\int\limits_a^b f(x)\, dx := S_f = s_f
das Riemann-Integral (oder auch bestimmte Integral) von ff über [a,b][a,b].
Sind keine Verwechslungen mit anderen Integraltypen zu befürchten, so lässt man die Bezeichnung "Riemann" oft weg.
Mit
R[a,b]:={  f:[a,b]→R:fR[a,b]:= \{\; f:[a,b]\to \R: f ist integrierbar über [a,b]}[a,b]\}
wird der Raum aller riemannintegrierbaren Funktionen auf [a,b][a,b] bezeichnet.
Ist ff im Intervall [a,b][a,b] integrierbar so definieren wir ∫baf(x) dx  :=−∫abf(x) dx\int\limits_b^a f(x)\, dx\;:=-\int\limits_a^b f(x)\, dx.

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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