Das Riemann-Integral

Seien \(\displaystyle a,b\in\R\) mit \(\displaystyle a<b\) und \(\displaystyle f:[a,b]\to \R\) sei beschränkt. \(\displaystyle m:=\inf f\left([a,b]\right)\); \(\displaystyle M:=\sup f\left([a,b]\right)\).

Ober- und Untersummen

\(\displaystyle Z=\{x_0,x_1,x_2,\ldots,x_n\}\) heißt eine Zerlegung des Intervalls \(\displaystyle [a,b]\), wenn
\(\displaystyle a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n=b\)
\(\displaystyle \mathcal{Z}\) sei die Menge der Zerlegungen von \(\displaystyle [a,b]\).Weitere Bezeichnungen:
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Ober- und Untersummen
  • \(\displaystyle I_j:=[x_{j-1}, x_j]\) für \(\displaystyle j=1,\ldots n\)
  • \(\displaystyle |I_j|:= x_j-x_{j-1}\) ist die Länge von \(\displaystyle I_j\)
  • \(\displaystyle m_j:=\inf f(I_j)\), \(\displaystyle M_j:=\sup f(I_j)\)
  • \(\displaystyle s_f(Z):=\sum\limits_{j=1}^n m_j\cdot |I_j| \) heißt die Untersumme von \(\displaystyle f\) bezüglich der Zerlegung \(\displaystyle Z\)
  • \(\displaystyle S_f(Z):=\sum\limits_{j=1}^n M_j\cdot |I_j| \) heißt die Obersumme von \(\displaystyle f\) bezüglich \(\displaystyle Z\)
Es ist \(\displaystyle m\leq m_j\leq M_j\leq M\) und wegen \(\displaystyle |I_j| > 0\) gilt daher:
\(\displaystyle \underbrace{\sum\limits_{j=1}^n m |I_j|}_{m(b-a)} \leq \underbrace{\sum\limits_{j=1}^n m_j |I_j|}_{s_f(Z)} \)\(\displaystyle \leq \underbrace{\sum\limits_{j=1}^n M_j |I_j|}_{S_f(Z)} \leq \underbrace{\sum\limits_{j=1}^n M |I_j|}_{M(b-a)} \)
\(\displaystyle \Rightarrow\;\forall \; Z \in \mathcal{Z}\) gilt:\(\displaystyle m(b-a)\,\leq\, s_f(Z)\,\leq\, S_f(Z)\,\leq\, M(b-a)\).
Sind \(\displaystyle Z_1\), \(\displaystyle Z_2\) Zerlegungen von \(\displaystyle [a,b]\), so heißt \(\displaystyle Z_2\) Verfeinerung von \(\displaystyle Z_1\), wenn \(\displaystyle Z_2\supset Z_1\).
 
 

Satz 16MD

\(\displaystyle Z_1\), \(\displaystyle Z_2\) seien Zerlegungen von \(\displaystyle [a,b]\).
  1. Ist \(\displaystyle Z_2\) Verfeinerung von \(\displaystyle Z_1\), so gilt
    \(\displaystyle s_f(Z_1)\leq s_f(Z_2) \quad \text{und} \quad S_f(Z_2)\leq S_f(Z_1)\)
  2. \(\displaystyle s_f(Z_1)\leq S_f(Z_2)\)
(i) bedeutet, dass bei der Verfeinerung von Zerlegungen die Untersummen größer und die Obersummen kleiner werden.Nach (ii) ist es jedoch nicht möglich, dass die Untersummen größer als die Obersumme einer beliebigen aber festen Zerlegung werden. bzw. die Obersummen kleiner als die Untersumme einer beliebigen aber festen Zerlegung.

Beweis

(i) Wir zeigen nur die Ungleichung für die Untersummen (Obersummen analog).Sei \(\displaystyle Z_1=\{x_0,\ldots, x_n\}\). Es genügt, den Fall \(\displaystyle Z_2=Z_1\cup \{\xi\}\), wobei \(\displaystyle \xi\notin Z_1\), zu betrachten, die Verallgemeinerung kann dann durch vollständige Induktion bewiesen werden.Es gibt nun ein \(\displaystyle j\), sodass \(\displaystyle x_{j-1}<\xi < x_j\). \(\displaystyle s_f(Z_2)=\sum\limits_{k=1}^{j-1} m_k|I_k| \)\(\displaystyle + \underbrace{\inf f\left([x_{j-1},\xi]\right)}_{\geq m_j}\cdot (\xi-x_{j-1}) \)\(\displaystyle + \underbrace{\inf f\left([\xi, x_j]\right)}_{\geq m_j}\cdot (x_j-\xi) \)\(\displaystyle +\sum\limits_{k=j}^n m_k|I_k|\) \(\displaystyle \geq \sum\limits_{k=1}^{j-1} m_k|I_k|\)\(\displaystyle + \underbrace{m_j(\xi-x_{j-1})+m_j(x_j-\xi)}_{=m_j|I_j|}\)\(\displaystyle +\sum\limits_{k=j+1}^n m_k|I_k|\) \(\displaystyle =s_f(Z_1)\).(ii): \(\displaystyle Z:= Z_1\cup Z_2\) ist Verfeinerung sowohl von \(\displaystyle Z_1\) als auch von \(\displaystyle Z_2\). Nach (i) folgt: \(\displaystyle s_f(Z_1)\,\leq\, s_f(Z) \,\leq\, S_f(Z) \,\leq\, S_f(Z_2)\). \(\displaystyle \qed\)
Ist \(\displaystyle Z_1\) beliebige, fest gewählte Zerlegung von \(\displaystyle [a,b]\), so gilt nach Satz 16MD (ii):
\(\displaystyle s_f(Z)\leq S_f(Z_1)\) für jede Zerlegung \(\displaystyle Z\) von \(\displaystyle [a,b]\)
Die Menge der Untersummen \(\displaystyle s_f(Z)\) ist nach oben beschränkt und nach dem Vollständigkeitsaxiom existiert das Supremum:
\(\displaystyle s_f:=\sup \{s_f(Z):\; Z\) Zerlegung von \(\displaystyle [a,b]\}\)
und es gilt: \(\displaystyle s_f\leq S_f(Z_1) \) für jede Zerlegung \(\displaystyle Z_1\) von \(\displaystyle [a,b]\)Daher existiert ebenso
\(\displaystyle S_f=\inf \{S_f(Z_1):\; Z_1 \) Zerlegung von \(\displaystyle [a,b]\}\)
und es gilt:
\(\displaystyle s_f\leq S_f\).
Man nennt \(\displaystyle s_f\) das untere Integral von \(\displaystyle f\) und \(\displaystyle S_f\) das obere Integral von \(\displaystyle f\).

Definition des Riemannintegrals

Die Funktion \(\displaystyle f:[a,b]\to\R\) heißt riemann-integrierbar über \(\displaystyle [a,b]\), wenn unteres und oberes Integral existiert und übereinstimmt, also \(\displaystyle s_f=S_f\).In diesem Fall heißt
\(\displaystyle \int\limits_a^b f(x)\, dx := S_f = s_f\)
das Riemann-Integral (oder auch bestimmte Integral) von \(\displaystyle f\) über \(\displaystyle [a,b]\).
Sind keine Verwechslungen mit anderen Integraltypen zu befürchten, so lässt man die Bezeichnung "Riemann" oft weg.
Mit
\(\displaystyle R[a,b]:= \{\; f:[a,b]\to \R: f\) ist integrierbar über \(\displaystyle [a,b]\}\)
wird der Raum aller riemannintegrierbaren Funktionen auf \(\displaystyle [a,b]\) bezeichnet.
Ist \(\displaystyle f\) im Intervall \(\displaystyle [a,b]\) integrierbar so definieren wir \(\displaystyle \int\limits_b^a f(x)\, dx\;:=-\int\limits_a^b f(x)\, dx\).

Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch.

Bertrand Russell

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