Weitere Eigenschaften des bestimmten Integrals

Satz 16QQ

Seien f,gR[a,b]f,g\in R[a,b] riemannintegrierbar.
  1. Sei D:=f([a,b])D:=f\left([a,b]\right) (beschränkt, da ff beschränkt) und h:DRh: D\to \R Lipschitz-stetig.
    Dann gilt hfR[a,b]h\circ f\in R[a,b].
  2. fgR[a,b]f\cdot g\in R[a,b] (Produkt der Funktionen)
  3. Es existiere ein δ>0\delta>0 mit x[a,b]    g(x)δ\forall x\in [a,b]\;\; \left|g(x)\right|\geq \delta
    Dann gilt fgR[a,b]\dfrac{f}{g}\in R[a,b]
 
 

Beweis

(i) fehlt. (ii) Wir zeigen zuerst, dass mit ψR[a,b]i\psi \in R[a,b]i auch ψ2\psi^2 riemannintegrierbar ist. Sei ψR[a,b]ψ\psi \in R[a,b]\,\Rightarrow\,\psi beschränkt. D:=ψ([a,b])\Rightarrow D:=\psi\left([a,b]\right) beschränkt   α>0  tDtα\Rightarrow\;\exists \alpha>0\;\forall t\in D\quad |t|\leq \alpha Setze h(t):=t2h(t):= t^2.   t,sDh(t)h(s)\Rightarrow\; \forall t,s\in D\quad \left|h(t)-h(s)\right|\,=tst+s2α2αts =\,|t-s|\cdot\underbrace{|t+s|}_{\leq 2\alpha}\,\leq\, 2\alpha |t-s| h\Rightarrow h Lipschitz-stetig.   hψ=ψ2R[a,b]{\Rightarrow}\; h\circ \psi =\psi^2 \in R[a,b] (nach (i)) Aus f,gR[a,b]f,g\in R[a,b] folgt nach Satz 5316A, dass f+g,fgR[a,b]f+g, f-g \in R[a,b]     (f+g)2,(fg)2R[a,b]\Rightarrow\;\; (f+g)^2, (f-g)^2 \in R[a,b] (nach dem oben bewiesenen)     14[(f+g)2(fg)2]=fgR[a,b]{\Rightarrow}\;\; \underbrace{\dfrac{1}{4}\left[(f+g)^2-(f-g)^2\right]}_{=f\cdot g} \in R[a,b] (iii) Setze h(t)=1t1gR[a,b]fgR[a,b]h(t)=\dfrac{1}{t}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{g}\in R[a,b]\quad {\Rightarrow}\quad \dfrac{f}{g}\in R[a,b] \qed

Satz 16QR (Dreiecksungleichung für Integrale)

Sei ff auf dem Intervall [a,b][a,b] riemannintegrierbar, dann ist fR[a,b]|f|\in R[a,b] und es gilt:
abf(x)  dxabf(x)  dx{\left|\int\limits_a^b f(x)\; dx \right|\leq \int\limits_a^b \left| f(x)\right| \; dx}

Beweis

Man setze h(t):=th(t):= |t|. Dann ist hh Lipschitz-stetig auf R\R (mit L=1L=1)   hf=fR[a,b]{\Rightarrow}\; h\circ f =|f|\in R[a,b] (nach Satz 16QQ)
Wegen ff,fff\leq |f|,\quad -f\leq |f| und Satz 5316A gilt abf(x)  dxabf(x)  dx\int\limits_a^b f(x)\; dx \leq \int\limits_a^b \left|f(x)\right|\; dx und ab(f(x))  dxabf(x)dx\int\limits_a^b (-f(x))\; dx \leq \int\limits_a^b \left|f(x)\right|\, dx.
abf(x)  dxabf(x)dx\Rightarrow\quad\left|\int\limits_a^b f(x)\; dx\right|\leq \int\limits_a^b \left|f(x)\right|\, dx \qed

Es gibt jedoch noch einen anderen Grund für die hohe Wertschätzung der Mathematik; sie allein bietet den Naturwissenschaften ein gewisses Maß an Sicherheit, das ohne Mathematik nicht erreichbar wäre.

Albert Einstein

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