Weitere Eigenschaften des bestimmten Integrals
Satz 16QQ
Sei D : = f ( [ a , b ] ) D:=f\left([a,b]\right) D : = f ( [ a , b ] ) beschränkt , da f f f beschränkt ) und h : D → R h: D\to \R h : D → R Lipschitz-stetig . h ∘ f ∈ R [ a , b ] h\circ f\in R[a,b] h ∘ f ∈ R [ a , b ]
f ⋅ g ∈ R [ a , b ] f\cdot g\in R[a,b] f ⋅ g ∈ R [ a , b ] Funktionen )
Es existiere ein δ > 0 \delta>0 δ > 0 ∀ x ∈ [ a , b ] ∣ g ( x ) ∣ ≥ δ \forall x\in [a,b]\;\; \left|g(x)\right|\geq \delta ∀ x ∈ [ a , b ] ∣ g ( x ) ∣ ≥ δ f g ∈ R [ a , b ] \dfrac{f}{g}\in R[a,b] g f ∈ R [ a , b ]
Beweis
(i) fehlt. (ii) Wir zeigen zuerst, dass mit
ψ ∈ R [ a , b ] i \psi \in R[a,b]i ψ ∈ R [ a , b ] i auch
ψ 2 \psi^2 ψ 2 riemannintegrierbar ist. Sei
ψ ∈ R [ a , b ] ⇒ ψ \psi \in R[a,b]\,\Rightarrow\,\psi ψ ∈ R [ a , b ] ⇒ ψ beschränkt .
⇒ D : = ψ ( [ a , b ] ) \Rightarrow D:=\psi\left([a,b]\right) ⇒ D : = ψ ( [ a , b ] ) beschränkt ⇒ ∃ α > 0 ∀ t ∈ D ∣ t ∣ ≤ α \Rightarrow\;\exists \alpha>0\;\forall t\in D\quad |t|\leq \alpha ⇒ ∃ α > 0 ∀ t ∈ D ∣ t ∣ ≤ α Setze
h ( t ) : = t 2 h(t):= t^2 h ( t ) : = t 2 .
⇒ ∀ t , s ∈ D ∣ h ( t ) − h ( s ) ∣ \Rightarrow\; \forall t,s\in D\quad \left|h(t)-h(s)\right|\, ⇒ ∀ t , s ∈ D ∣ h ( t ) − h ( s ) ∣ = ∣ t − s ∣ ⋅ ∣ t + s ∣ ⎵ ≤ 2 α ≤ 2 α ∣ t − s ∣ =\,|t-s|\cdot\underbrace{|t+s|}_{\leq 2\alpha}\,\leq\, 2\alpha |t-s| = ∣ t − s ∣ ⋅ ≤ 2 α ∣ t + s ∣ ≤ 2 α ∣ t − s ∣ ⇒ h \Rightarrow h ⇒ h Lipschitz-stetig .
⇒ h ∘ ψ = ψ 2 ∈ R [ a , b ] {\Rightarrow}\; h\circ \psi =\psi^2 \in R[a,b] ⇒ h ∘ ψ = ψ 2 ∈ R [ a , b ] (nach (i)) Aus
f , g ∈ R [ a , b ] f,g\in R[a,b] f , g ∈ R [ a , b ] folgt nach
Satz 5316A , dass
f + g , f − g ∈ R [ a , b ] f+g, f-g \in R[a,b] f + g , f − g ∈ R [ a , b ] ⇒ ( f + g ) 2 , ( f − g ) 2 ∈ R [ a , b ] \Rightarrow\;\; (f+g)^2, (f-g)^2 \in R[a,b] ⇒ ( f + g ) 2 , ( f − g ) 2 ∈ R [ a , b ] (nach dem oben bewiesenen)
⇒ 1 4 [ ( f + g ) 2 − ( f − g ) 2 ] ⎵ = f ⋅ g ∈ R [ a , b ] {\Rightarrow}\;\; \underbrace{\dfrac{1}{4}\left[(f+g)^2-(f-g)^2\right]}_{=f\cdot g} \in R[a,b] ⇒ = f ⋅ g 4 1 [ ( f + g ) 2 − ( f − g ) 2 ] ∈ R [ a , b ] (iii) Setze
h ( t ) = 1 t ⇒ 1 g ∈ R [ a , b ] ⇒ f g ∈ R [ a , b ] h(t)=\dfrac{1}{t}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{g}\in R[a,b]\quad {\Rightarrow}\quad \dfrac{f}{g}\in R[a,b] h ( t ) = t 1 ⇒ g 1 ∈ R [ a , b ] ⇒ g f ∈ R [ a , b ] □ \qed □ Satz 16QR (Dreiecksungleichung für Integrale)
∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x {\left|\int\limits_a^b f(x)\; dx \right|\leq \int\limits_a^b \left| f(x)\right| \; dx} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a ∫ b f ( x ) d x ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ a ∫ b ∣ f ( x ) ∣ d x Beweis
Man setze
h ( t ) : = ∣ t ∣ h(t):= |t| h ( t ) : = ∣ t ∣ . Dann ist
h h h Lipschitz-stetig auf
R \R R (mit
L = 1 L=1 L = 1 )
⇒ h ∘ f = ∣ f ∣ ∈ R [ a , b ] {\Rightarrow}\; h\circ f =|f|\in R[a,b] ⇒ h ∘ f = ∣ f ∣ ∈ R [ a , b ] (nach
Satz 16QQ )
Wegen
f ≤ ∣ f ∣ , − f ≤ ∣ f ∣ f\leq |f|,\quad -f\leq |f| f ≤ ∣ f ∣ , − f ≤ ∣ f ∣ und
Satz 5316A gilt
∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x \int\limits_a^b f(x)\; dx \leq \int\limits_a^b \left|f(x)\right|\; dx a ∫ b f ( x ) d x ≤ a ∫ b ∣ f ( x ) ∣ d x und
∫ a b ( − f ( x ) ) d x ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x \int\limits_a^b (-f(x))\; dx \leq \int\limits_a^b \left|f(x)\right|\, dx a ∫ b ( − f ( x ) ) d x ≤ a ∫ b ∣ f ( x ) ∣ d x .
⇒ ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x \Rightarrow\quad\left|\int\limits_a^b f(x)\; dx\right|\leq \int\limits_a^b \left|f(x)\right|\, dx ⇒ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a ∫ b f ( x ) d x ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ a ∫ b ∣ f ( x ) ∣ d x □ \qed □ Hochtechnologie ist im wesentlichen mathematische Technologie.
Enquete-Kommission der Amerikanischen Akademie der Wissenschaften
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