Eigenschaften des Riemann-Integrals

Satz 16ME (Integrabilitätskriterium)

ff ist riemannintegrierbar ⇔  ∀ε>0  ∃Z∈ZSf(Z)−sf(Z)<ε\Leftrightarrow\; \forall \varepsilon>0\;\exists Z \in \mathcal{Z} \quad S_f(Z)-s_f(Z)<\varepsilon
Eine Funktion ist also integrierbar, wenn die Differenz von Obersumme und Untersumme beliebig klein wird.

Beweis

"⇒\Rightarrow": Sei S:=∫abf(x)  dxS:=\int\limits_a^b f(x)\; d x (S=sf=SfS=s_f=S_f) Sei ε>0\varepsilon>0. Es existieren Zerlegungen Z1,Z2Z_1, Z_2 von [a,b][a,b] mit sf(Z1)>sf−ε2=S−ε2s_f(Z_1)>s_f-\dfrac{\varepsilon}{2}=S-\dfrac{\varepsilon}{2} und Sf(Z2)<Sf+ε2=S+ε2S_f(Z_2)< S_f+\dfrac{\varepsilon}{2}=S+\dfrac{\varepsilon}{2}. Für Z:=Z1∪Z2Z:=Z_1\cup Z_2 gilt dann nach Satz 16MD: sf(Z)≥sf(Z1)>S−ε2s_f(Z)\geq s_f(Z_1)> S-\dfrac{\varepsilon}{2} (  ⟹  −sf(Z)<=−S+ε2\implies-s_f(Z)<=-S+\dfrac{\varepsilon}{2}) und Sf(Z)≤Sf(Z2)<S+ε2S_f(Z)\leq S_f(Z_2)< S+\dfrac{\varepsilon}{2} . ⇒  Sf(Z)−sf(Z)<ε\Rightarrow \; S_f(Z)-s_f(Z)<\varepsilon. "⇐\Leftarrow": Sei ε>0\varepsilon>0. Nach Voraussetzung existiert eine Zerlegung ZZ von [a,b][a,b] mit Sf(Z)−sf(Z)<εS_f(Z)-s_f(Z)<\varepsilon. ⇒  Sf≤Sf(Z)<sf(Z)+ε<sf+ε≤Sf+ε\Rightarrow\; S_f\leq S_f(Z)<s_f(Z)+\varepsilon < s_f+\varepsilon\leq S_f+\varepsilon. Dies gilt für alle ε>0\varepsilon>0. Für ε→0\varepsilon\to 0 folgt: Sf=sfS_f=s_f, also f f ist integrierbar. □\qed

Satz 5316A (Eigenschaften des bestimmten Integrals)

Seien f,g:[a,b]→Rf,g:[a,b]\to\R riemannintegrierbar auf [a,b][a,b]. Dann gilt:
  1. ∫aa f(x) d⁡x=0\int\limits_a^a \, f(x)\, \d x=0.
  2. Sei a<=c<=ba<=c<=b. Dann ist ff genau dann auf [a,b][a,b] integrierbar, wenn ff auf [a,c][a,c] und auf [b,c][b,c] integrierbar ist. In diesem Fall gilt ∫ab f(x) d⁡x=∫ac f(x) d⁡x+∫cb f(x) d⁡x\int\limits_a^b \, f(x)\, \d x=\int\limits_a^c \, f(x)\, \d x + \int\limits_c^b \, f(x)\, \d x
  3. Seien α,β∈R\alpha,\beta\in\R, so ist αf+βg\alpha f+\beta g integrierbar und es gilt
    ∫ab(αf+βg)(x) dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x) dx\int\limits_a^b (\alpha f+\beta g)(x)\, dx=\alpha\int\limits_a^b f(x) dx+\beta\int\limits_a^b g(x)\, dx.
  4. Sind f,gf,g riemannintegrierbar und ist f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x) für alle x∈[a,b]x\in[a,b] , so gilt:
    ∫abf(x) dx≤∫abg(x) dx\int\limits_a^b f(x)\, dx\leq \int\limits_a^b g(x)\, dx
(iii) bedeutet insbesondere, dass der Raum der integrierbaren Funktionen R([a,b])R([a,b]) ein Vektorraum über den reellen Zahlen R\R ist und und das Integral ein Vektorraumhomomorphismus von R[a,b]R[a,b] nach R\R ist.

Beweis

(i) Klar, da die Summe der Intervalllängen bei einer beliebigen Zerlegung stets 00 ist.
(ii) "  ⟹  \implies": Ist ff auf [a,b][a,b] integrierbar, so gilt es nach Satz 16ME für ϵ>0\epsilon>0 eine Zerlegung ZZ mit Sf(Z)−sf(Z)<ϵS_f(Z)-s_f(Z)<\epsilon. Wir können annehmen, dass c∈Zc\in Z. Andernfalls betrachten wir Z1:=Z∪{c}Z_1:=Z\cup \{c\}. Z1Z_1 ist Verfeinerung von ZZ und nach Satz 16MD gilt sf(Z)<=sf(Z1)s_f(Z)<=s_f(Z_1) <=Sf(Z1)<=Sf(Z)<=S_f(Z_1)<=S_f(Z) und damit ebenfalls Sf(Z1)−sf(Z1)<ϵS_f(Z_1)-s_f(Z_1)<\epsilon. Seien nun Za={z∈Z : z<=c}Z_a=\{z\in Z\,:\,z<=c\} und Zb={z∈Z : z>=c}Z_b=\{z\in Z\,:\,z>=c\}. Es ist sf(Z)=sf(Za)+sf(Zb)s_f(Z)=s_f(Z_a)+s_f(Z_b) und Sf(Z)=Sf(Za)+Sf(Zb)S_f(Z)=S_f(Z_a)+S_f(Z_b)   ⟹    Sf(Z)−sf(Z)\implies\;S_f(Z)-s_f(Z)=Sf(Za)−sf(Za)⎵>=0+Sf(Zb)−sf(Zb)⎵>=0<ϵ=\underbrace{S_f(Z_a)-s_f(Z_a)}_{>=0}+\underbrace{S_f(Z_b)-s_f(Z_b)}_{>=0}<\epsilon   ⟹    Sf(Za)−sf(Za)<ϵ\implies\;S_f(Z_a)-s_f(Z_a)<\epsilon und Sf(Zb)−sf(Zb)<ϵS_f(Z_b)-s_f(Z_b)<\epsilon.   ⟹    f\implies\; f ist nach Satz 16ME auf [a,c][a,c] und [c,b][c,b] integrierbar und für ϵ→0\epsilon\to 0 ergibt sich ∫ab f(x) d⁡x=∫ac f(x) d⁡x+∫cb f(x) d⁡x\int\limits_a^b \, f(x)\, \d x=\int\limits_a^c \, f(x)\, \d x + \int\limits_c^b \, f(x)\, \d x.
"⇐\Leftarrow": Sei ε>0\varepsilon>0. Da ff auf [a,c][a,c] integrierbar, existiert nach Satz 16ME eine Zerlegung Z1Z_1 von [a,c][a,c] mit sf(Z1)>∫acf(x) dx−εs_f(Z_1)>\int\limits_a^c f(x)\, dx-\varepsilon. Analog existiert eine Zerlegung Z2Z_2 von [c,b][c,b] mit sf(Z2)>∫cbf(x) dx−εs_f(Z_2)>\int\limits_c^b f(x)\, dx-\varepsilon Wir setzen Z:=Z1∪Z2Z:=Z_1\cup Z_2. ZZ ist eine Zerlegung von [a,b][a,b], und
sf(Z)=sf(Z1)+sf(Z2)>s_f(Z)=s_f(Z_1)+s_f(Z_2)>∫acf  dx+∫cbf  dx⎵=:S−2ε\underbrace{\int\limits_a^c f\; dx+\int\limits_c^b f\; dx}_{=:S}-2\varepsilon
⇒  S−2ε<sf(Z)≤sf\Rightarrow\; S-2\varepsilon<s_f(Z)\leq s_f Für ε→0\varepsilon\to 0 ergibt sich: S≤sfS\leq s_f Analog beweist man S≥SfS\geq S_f und wegen sf≤Sfs_f\leq S_f folgt Sf=sf=SS_f=s_f=S. (iii): Einfach: ff integrierbar ⇒  −f\Rightarrow\; -f integrierbar. Obersummen und Untersummen vertauschen ihre Rolle. ⇒∫ab(−f)(x)  dx=−∫abf(x)  dx\Rightarrow \int\limits_a^b (-f)(x)\; dx=-\int\limits_a^b f(x)\; dx.
Es ist auch leicht zu zeigen: α∈R\alpha\in\R und f f riemannintegrierbar ⇒  αf\Rightarrow\; \alpha f integrierbar und ∫ab(αf)(x)  dx=α∫abf(x)  dx\int\limits_a^b (\alpha f)(x)\; dx=\alpha \int\limits_a^b f(x)\; dx. Dazu bedenke man, dass in den Formeln für die Ober- und Untersummen α\alpha ausgeklammert werden kann.
Seien nun f,gf,g integrierbar. und Z1,Z2Z_1, Z_2 beliebige Zerlegungen von [a,b][a,b]. Dann ist Z:=Z1∪Z2Z:=Z_1\cup Z_2 eine gemeinsame Verfeinerung und es gilt
sf+g(Z)s_{f+g}(Z)=∑j=1ninf⁡(f+g)[xj−1,xj]⎵≥inf⁡f([xj−1,xj])+inf⁡g([xj−1,xj])⋅∣Ij∣=\sum\limits_{j=1}^n \underbrace{\inf (f+g)[x_{j-1},x_j]}_{{\atop{\geq \inf f([x_{j-1},x_j])} {+\inf g([x_{j-1},x_j])}}}\cdot |I_j|≥sf(Z)+sg(Z)≥sf(Z1)+sg(Z2)\geq s_f(Z)+s_g(Z) \geq s_f(Z_1)+s_g(Z_2).
Wegen sf+g(Z)≤sf+gs_{f+g}(Z)\leq s_{f+g} gilt daher sf+g≥sf(Z1)+sg(Z2)s_{f+g} \geq s_f(Z_1) +s_g(Z_2) für beliebige Zerlegungen Z1,Z2Z_1, Z_2 von [a,b][a,b]. ⇒sf+g≥sf+sg(Z2)\Rightarrow s_{f+g}\geq s_f+s_g(Z_2) ⇒  sf+g≥sf+sg=∫abf(x)  dx+∫abg(x)  dx\Rightarrow \;s_{f+g}\geq s_f+s_g=\int\limits_a^b f(x)\; dx+\int\limits_a^b g(x)\; dx Genauso schließt man Sf+g≤∫abf(x)  dx+∫abg(x)  dxS_{f+g}\leq \int\limits_a^b f(x)\; dx+\int\limits_a^b g(x)\; dx und da sf+g≤Sf+gs_{f+g}\leq S_{f+g} folgt sf+g=Sf+g=∫abf(x)  dx+∫abg(x)  dxs_{f+g}=S_{f+g}=\int\limits_a^b f(x)\; dx+\int\limits_a^b g(x)\; dx (iv): Sei Z={x0,…,xn}Z=\{x_0,\ldots,x_n\} eine Zerlegung von [a,b][a,b], Ij:=[xj−1,xj]I_j:=[x_{j-1}, x_j], mj:=inf⁡f(Ij)m_j:=\inf f(I_j), Mj:=sup⁡f(Ij) M_j:=\sup f(I_j) und mˉj:=inf⁡g(Ij)\bar m_j := \inf g(I_j), Mˉj:=sup⁡g(Ij)\bar M_j := \sup g(I_j). Da f(x)≤g(x) f(x)\leq g(x) ∀x∈[a,b]\forall x\in [a,b], gilt stets mj≤mˉjm_j\leq \bar m_j und Mj≤MˉjM_j\leq \bar M_j. ⇒sf(Z)≤sg(Z)≤sg\Rightarrow s_f(Z)\leq s_g(Z)\leq s_g=∫abg(x)  dx = \int\limits_a^b g(x)\; dx. ⇒∫abf(x)  dx=sf\Rightarrow \int\limits_a^b f(x)\; dx=s_f<=sf(Z)≤∫abg(x)  dx <=s_f(Z)\leq \int\limits_a^b g(x)\; dx . □\qed
 
 

Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

Albert Einstein

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