Eigenschaften des Riemann-Integrals

Satz 16ME (Integrabilitätskriterium)

\(\displaystyle f\) ist riemannintegrierbar \(\displaystyle \Leftrightarrow\; \forall \varepsilon>0\;\exists Z \in \mathcal{Z} \quad S_f(Z)-s_f(Z)<\varepsilon\)
Eine Funktion ist also integrierbar, wenn die Differenz von Obersumme und Untersumme beliebig klein wird.

Beweis

"\(\displaystyle \Rightarrow\)": Sei \(\displaystyle S:=\int\limits_a^b f(x)\; d x\) (\(\displaystyle S=s_f=S_f\))Sei \(\displaystyle \varepsilon>0\). Es existieren Zerlegungen \(\displaystyle Z_1, Z_2\) von \(\displaystyle [a,b]\) mit \(\displaystyle s_f(Z_1)>s_f-\dfrac{\varepsilon}{2}=S-\dfrac{\varepsilon}{2}\) und \(\displaystyle S_f(Z_2)< S_f+\dfrac{\varepsilon}{2}=S+\dfrac{\varepsilon}{2}\).Für \(\displaystyle Z:=Z_1\cup Z_2\) gilt dann nach Satz 16MD: \(\displaystyle s_f(Z)\geq s_f(Z_1)> S-\dfrac{\varepsilon}{2}\) (\(\displaystyle \implies-s_f(Z)<=-S+\dfrac{\varepsilon}{2}\)) und \(\displaystyle S_f(Z)\leq S_f(Z_2)< S+\dfrac{\varepsilon}{2}\) .\(\displaystyle \Rightarrow \; S_f(Z)-s_f(Z)<\varepsilon\)."\(\displaystyle \Leftarrow\)": Sei \(\displaystyle \varepsilon>0\). Nach Voraussetzung existiert eine Zerlegung \(\displaystyle Z\) von \(\displaystyle [a,b]\) mit \(\displaystyle S_f(Z)-s_f(Z)<\varepsilon\).\(\displaystyle \Rightarrow\; S_f\leq S_f(Z)<s_f(Z)+\varepsilon < s_f+\varepsilon\leq S_f+\varepsilon\).Dies gilt für alle \(\displaystyle \varepsilon>0\). Für \(\displaystyle \varepsilon\to 0\) folgt: \(\displaystyle S_f=s_f\), also \(\displaystyle f\) ist integrierbar. \(\displaystyle \qed\)
 
 

Satz 5316A (Eigenschaften des bestimmten Integrals)

Seien \(\displaystyle f,g:[a,b]\to\R\) riemannintegrierbar auf \(\displaystyle [a,b]\). Dann gilt:
  1. \(\displaystyle \int\limits_a^a \, f(x)\, \d x=0\).
  2. Sei \(\displaystyle a<=c<=b\). Dann ist \(\displaystyle f\) genau dann auf \(\displaystyle [a,b]\) integrierbar, wenn \(\displaystyle f\) auf \(\displaystyle [a,c]\) und auf \(\displaystyle [b,c]\) integrierbar ist. In diesem Fall gilt \(\displaystyle \int\limits_a^b \, f(x)\, \d x=\int\limits_a^c \, f(x)\, \d x + \int\limits_c^b \, f(x)\, \d x\)
  3. Seien \(\displaystyle \alpha,\beta\in\R\), so ist \(\displaystyle \alpha f+\beta g\) integrierbar und es gilt
    \(\displaystyle \int\limits_a^b (\alpha f+\beta g)(x)\, dx=\alpha\int\limits_a^b f(x) dx+\beta\int\limits_a^b g(x)\, dx\).
  4. Sind \(\displaystyle f,g\) riemannintegrierbar und ist \(\displaystyle f(x)\leq g(x)\) für alle \(\displaystyle x\in[a,b] \), so gilt:
    \(\displaystyle \int\limits_a^b f(x)\, dx\leq \int\limits_a^b g(x)\, dx\)
(iii) bedeutet insbesondere, dass der Raum der integrierbaren Funktionen \(\displaystyle R([a,b])\) ein Vektorraum über den reellen Zahlen \(\displaystyle \R\) ist und und das Integral ein Vektorraumhomomorphismus von \(\displaystyle R[a,b]\) nach \(\displaystyle \R\) ist.

Beweis

(i) Klar, da die Summe der Intervalllängen bei einer beliebigen Zerlegung stets \(\displaystyle 0\) ist.
(ii) "\(\displaystyle \implies\)": Ist \(\displaystyle f\) auf \(\displaystyle [a,b]\) integrierbar, so gilt es nach Satz 16ME für \(\displaystyle \epsilon>0\) eine Zerlegung \(\displaystyle Z\) mit \(\displaystyle S_f(Z)-s_f(Z)<\epsilon\). Wir können annehmen, dass \(\displaystyle c\in Z\). Andernfalls betrachten wir \(\displaystyle Z_1:=Z\cup \{c\}\). \(\displaystyle Z_1\) ist Verfeinerung von \(\displaystyle Z\) und nach Satz 16MD gilt \(\displaystyle s_f(Z)<=s_f(Z_1)\) \(\displaystyle <=S_f(Z_1)<=S_f(Z)\) und damit ebenfalls \(\displaystyle S_f(Z_1)-s_f(Z_1)<\epsilon\).Seien nun \(\displaystyle Z_a=\{z\in Z\,:\,z<=c\}\) und \(\displaystyle Z_b=\{z\in Z\,:\,z>=c\}\). Es ist \(\displaystyle s_f(Z)=s_f(Z_a)+s_f(Z_b)\) und \(\displaystyle S_f(Z)=S_f(Z_a)+S_f(Z_b)\)\(\displaystyle \implies\;S_f(Z)-s_f(Z)\)\(\displaystyle =\underbrace{S_f(Z_a)-s_f(Z_a)}_{>=0}+\underbrace{S_f(Z_b)-s_f(Z_b)}_{>=0}<\epsilon\)\(\displaystyle \implies\;S_f(Z_a)-s_f(Z_a)<\epsilon\) und \(\displaystyle S_f(Z_b)-s_f(Z_b)<\epsilon\).\(\displaystyle \implies\; f\) ist nach Satz 16ME auf \(\displaystyle [a,c]\) und \(\displaystyle [c,b]\) integrierbar und für \(\displaystyle \epsilon\to 0\) ergibt sich \(\displaystyle \int\limits_a^b \, f(x)\, \d x=\int\limits_a^c \, f(x)\, \d x + \int\limits_c^b \, f(x)\, \d x\).
"\(\displaystyle \Leftarrow\)": Sei \(\displaystyle \varepsilon>0\). Da \(\displaystyle f\) auf \(\displaystyle [a,c]\) integrierbar, existiert nach Satz 16ME eine Zerlegung \(\displaystyle Z_1\) von \(\displaystyle [a,c]\) mit \(\displaystyle s_f(Z_1)>\int\limits_a^c f(x)\, dx-\varepsilon\).Analog existiert eine Zerlegung \(\displaystyle Z_2\) von \(\displaystyle [c,b]\) mit \(\displaystyle s_f(Z_2)>\int\limits_c^b f(x)\, dx-\varepsilon\)Wir setzen \(\displaystyle Z:=Z_1\cup Z_2\). \(\displaystyle Z\) ist eine Zerlegung von \(\displaystyle [a,b]\), und
\(\displaystyle s_f(Z)=s_f(Z_1)+s_f(Z_2)>\)\(\displaystyle \underbrace{\int\limits_a^c f\; dx+\int\limits_c^b f\; dx}_{=:S}-2\varepsilon\)
\(\displaystyle \Rightarrow\; S-2\varepsilon<s_f(Z)\leq s_f\)Für \(\displaystyle \varepsilon\to 0\) ergibt sich: \(\displaystyle S\leq s_f\)Analog beweist man \(\displaystyle S\geq S_f\) und wegen \(\displaystyle s_f\leq S_f\) folgt \(\displaystyle S_f=s_f=S\). (iii):Einfach: \(\displaystyle f\) integrierbar \(\displaystyle \Rightarrow\; -f\) integrierbar. Obersummen und Untersummen vertauschen ihre Rolle.\(\displaystyle \Rightarrow \int\limits_a^b (-f)(x)\; dx=-\int\limits_a^b f(x)\; dx\).
Es ist auch leicht zu zeigen: \(\displaystyle \alpha\in\R\) und \(\displaystyle f\) riemannintegrierbar \(\displaystyle \Rightarrow\; \alpha f\) integrierbar und \(\displaystyle \int\limits_a^b (\alpha f)(x)\; dx=\alpha \int\limits_a^b f(x)\; dx\). Dazu bedenke man, dass in den Formeln für die Ober- und Untersummen \(\displaystyle \alpha\) ausgeklammert werden kann.
Seien nun \(\displaystyle f,g\) integrierbar. und \(\displaystyle Z_1, Z_2\) beliebige Zerlegungen von \(\displaystyle [a,b]\). Dann ist \(\displaystyle Z:=Z_1\cup Z_2\) eine gemeinsame Verfeinerung und es gilt
\(\displaystyle s_{f+g}(Z)\)\(\displaystyle =\sum\limits_{j=1}^n \underbrace{\inf (f+g)[x_{j-1},x_j]}_{{\atop{\geq \inf f([x_{j-1},x_j])} {+\inf g([x_{j-1},x_j])}}}\cdot |I_j|\)\(\displaystyle \geq s_f(Z)+s_g(Z) \geq s_f(Z_1)+s_g(Z_2)\).
Wegen \(\displaystyle s_{f+g}(Z)\leq s_{f+g}\) gilt daher \(\displaystyle s_{f+g} \geq s_f(Z_1) +s_g(Z_2)\) für beliebige Zerlegungen \(\displaystyle Z_1, Z_2\) von \(\displaystyle [a,b]\).\(\displaystyle \Rightarrow s_{f+g}\geq s_f+s_g(Z_2)\) \(\displaystyle \Rightarrow \;s_{f+g}\geq s_f+s_g=\int\limits_a^b f(x)\; dx+\int\limits_a^b g(x)\; dx\)Genauso schließt man \(\displaystyle S_{f+g}\leq \int\limits_a^b f(x)\; dx+\int\limits_a^b g(x)\; dx\) und da \(\displaystyle s_{f+g}\leq S_{f+g}\) folgt \(\displaystyle s_{f+g}=S_{f+g}=\int\limits_a^b f(x)\; dx+\int\limits_a^b g(x)\; dx\) (iv): Sei \(\displaystyle Z=\{x_0,\ldots,x_n\}\) eine Zerlegung von \(\displaystyle [a,b]\), \(\displaystyle I_j:=[x_{j-1}, x_j]\), \(\displaystyle m_j:=\inf f(I_j)\), \(\displaystyle M_j:=\sup f(I_j)\) und \(\displaystyle \bar m_j := \inf g(I_j)\), \(\displaystyle \bar M_j := \sup g(I_j)\).Da \(\displaystyle f(x)\leq g(x)\) \(\displaystyle \forall x\in [a,b]\), gilt stets \(\displaystyle m_j\leq \bar m_j\) und \(\displaystyle M_j\leq \bar M_j\).\(\displaystyle \Rightarrow s_f(Z)\leq s_g(Z)\leq s_g\)\(\displaystyle = \int\limits_a^b g(x)\; dx\).\(\displaystyle \Rightarrow \int\limits_a^b f(x)\; dx=s_f\)\(\displaystyle <=s_f(Z)\leq \int\limits_a^b g(x)\; dx \). \(\displaystyle \qed\)

Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.

Émile Lemoine

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