Bestimmtes Integral und Stammfunktion

Das Riemann-Integral und die Stammfunktion sind keine unabhängigen Begriffe. Beide hängen wie folgt zusammen.

Satz 15VL (Bestimmtes Integral und Stammfunktion)

Sei \(\displaystyle f\in R[a,b]\) riemannintegrierbar und \(\displaystyle f\) besitze auf \(\displaystyle [a,b]\) eine Stammfunktion \(\displaystyle F: [a,b]\to \R\). Dann gilt:
\(\displaystyle \int\limits_a^b f(x)\; dx= F(b)-F(a)\)
Das bestimmte Integral entspricht also der Differenz der Werte der Stammfunktion an den Integrationsgrenzen.Weitere Schreibweisen: \(\displaystyle F(x)\big|_a^b\) und \(\displaystyle \left[F(x)\right]_a^b\)
 
 

Beweis

Sei \(\displaystyle Z=\{x_0,\ldots,x_n\}\) eine beliebige Zerlegung von \(\displaystyle [a,b]\). Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es ein \(\displaystyle \xi_j\in ]x_{j-1},x_j[\), sodass
\(\displaystyle F(x_j)-F(x_{j-1}) \; {=}\; \underbrace{F\, '(\xi_j)}_{=f(\xi_j)}\cdot (x_j-x_{j-1})\),
wobei \(\displaystyle f(\xi_j)>=m_j\) und \(\displaystyle f(\xi_j)<=M_j\) gilt mit \(\displaystyle I_j:=[x_{j-1}, x_j]\), \(\displaystyle m_j:=\inf f(I_j)\) und \(\displaystyle M_j:=\sup f(I_j)\).
\(\displaystyle \Rightarrow\; m_j|I_j|\leq F(x_j)-F(x_{j-1})\leq M_j|I_j|\)\(\displaystyle \Rightarrow\; s_f(Z)\;\leq \underbrace{\sum\limits_{j=1}^n (F(x_j)-F(x_{j-1}))}_{\atop{F(x_n)-F(x_{n-1})}{+F(x_{n-1})-F(x_{n-2})+\cdots}}\;\leq S_f(Z)\)\(\displaystyle \Rightarrow\; s_f\;\leq\; F(b)-F(a)\;\leq\; S_f=s_f\) wegen \(\displaystyle f\in R[a,b]\)\(\displaystyle \Rightarrow\; F(b)-F(a)=S_f=s_f\)\(\displaystyle =\int\limits_a^b f(x)\; dx\) \(\displaystyle \qed\)
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\(\displaystyle F(x)\) blau und \(\displaystyle f(x)=F\, '(x)\) rot

Beispiele

Beispiel

Es gibt Funktionen, die Stammfunktionen besitzen, aber nicht integrierbar sind.\(\displaystyle F(x)=\begin{cases} x^\dfrac{3}{2}\sin\dfrac{1}{x}& \text{ für }x\in ]0,1]\\0 & \text{für }x=0\end{cases}\)\(\displaystyle F\) ist differenzierbar auf \(\displaystyle [0,1]\). Die Funktion \(\displaystyle f:=F'=\dfrac 3 2{\sqrt x}\cdot\sin\dfrac 1 x - \dfrac 1{\sqrt x}\cdot\cos\dfrac 1x\) ist auf \(\displaystyle [0,1]\) unbeschränkt und daher nicht integrierbar. Jedoch hat \(\displaystyle f\) eine Stammfunktion, nämlich \(\displaystyle F\).
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\(\displaystyle f\) besitzt keine Stammfunktion

Beispiel

Es gibt Funktionen, die integrierbar sind, aber keine Stammfunktion besitzen.
\(\displaystyle f(x):=\begin{cases} 0& \text{ für }x\in [-1,0[\\ 1& \text{für }x\in [0,1]\end{cases}\)
\(\displaystyle f\) ist monoton und ist daher nach Satz 16MG integrierbar auf \(\displaystyle [-1,1]\).Angenommen es existiert eine Stammfunktion \(\displaystyle F\) zu \(\displaystyle f\) auf \(\displaystyle [-1,1]\).\(\displaystyle \Rightarrow\; F´=0\) auf \(\displaystyle [-1,0[\) \(\displaystyle \;\Rightarrow\; F\equiv c_1\) (Folgerung 16MC) auf \(\displaystyle [-1,0[\) bzw. \(\displaystyle F´\equiv 1\) auf \(\displaystyle [0,1]\) \(\displaystyle \;\Rightarrow\; F(x)=x+c_2\) auf \(\displaystyle [0,1]\).Wäre \(\displaystyle F\) differenzierbar, so wäre \(\displaystyle F\) stetig in \(\displaystyle 0\). \(\displaystyle \Rightarrow c_1=c_2\) und\(\displaystyle 0={\lim_{x\to 0-} \dfrac{F(x)-F(0)}{x-0}}=\lim_{x\to 0+} \dfrac{F(x)-F(0)}{x-0}=F\, '(0)=f(0)=1\). Widerspruch.

Beispiel

Sei \(\displaystyle 0<a<b\), \(\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}\)\(\displaystyle f\) ist monoton fallend auf \(\displaystyle [a,b]\), daher nach Satz 16MG riemannintegrierbar. Die Logarithmusfunktion \(\displaystyle F(x):=\ln x\) ist Stammfunktion und \(\displaystyle F\) differenzierbar auf \(\displaystyle [a,b]\) mit \(\displaystyle F \, '=f\). Nach Satz 15VL folgt:
\(\displaystyle \int\limits_a^b\dfrac{1}{x}\, dx =\ln b-\ln a=\ln\left(\dfrac{b}{a}\right)\)

Beispiel

\(\displaystyle f(x)=\cos x\) ist auf \(\displaystyle \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\) riemannintegrierbar, da \(\displaystyle f\) dort monoton ist. \(\displaystyle F(x):=\sin x\) ist Stammfunktion und differenzierbar auf \(\displaystyle \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\) mit \(\displaystyle F'=f\). Also gilt:
\(\displaystyle \int\limits_0^\dfrac{\pi}{2} \cos x \, dx \)\(\displaystyle = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\sin(0)=1\).

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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