Bestimmtes Integral und Stammfunktion

Das Riemann-Integral und die Stammfunktion sind keine unabhängigen Begriffe. Beide hängen wie folgt zusammen.

Satz 15VL (Bestimmtes Integral und Stammfunktion)

Sei fR[a,b]f\in R[a,b] riemannintegrierbar und ff besitze auf [a,b][a,b] eine Stammfunktion F:[a,b]RF: [a,b]\to \R. Dann gilt:
abf(x)  dx=F(b)F(a)\int\limits_a^b f(x)\; dx= F(b)-F(a)
Das bestimmte Integral entspricht also der Differenz der Werte der Stammfunktion an den Integrationsgrenzen. Weitere Schreibweisen: F(x)abF(x)\big|_a^b und [F(x)]ab\left[F(x)\right]_a^b
 
 

Beweis

Sei Z={x0,,xn}Z=\{x_0,\ldots,x_n\} eine beliebige Zerlegung von [a,b][a,b]. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es ein ξj]xj1,xj[ \xi_j\in ]x_{j-1},x_j[, sodass
F(xj)F(xj1)  =  F(ξj)=f(ξj)(xjxj1)F(x_j)-F(x_{j-1}) \; {=}\; \underbrace{F\, '(\xi_j)}_{=f(\xi_j)}\cdot (x_j-x_{j-1}),
wobei f(ξj)>=mjf(\xi_j)>=m_j und f(ξj)<=Mjf(\xi_j)<=M_j gilt mit Ij:=[xj1,xj]I_j:=[x_{j-1}, x_j], mj:=inff(Ij)m_j:=\inf f(I_j) und Mj:=supf(Ij) M_j:=\sup f(I_j).
  mjIjF(xj)F(xj1)MjIj\Rightarrow\; m_j|I_j|\leq F(x_j)-F(x_{j-1})\leq M_j|I_j|   sf(Z)  j=1n(F(xj)F(xj1))F(xn)F(xn1)+F(xn1)F(xn2)+  Sf(Z)\Rightarrow\; s_f(Z)\;\leq \underbrace{\sum\limits_{j=1}^n (F(x_j)-F(x_{j-1}))}_{\atop{F(x_n)-F(x_{n-1})}{+F(x_{n-1})-F(x_{n-2})+\cdots}}\;\leq S_f(Z)   sf    F(b)F(a)    Sf=sf\Rightarrow\; s_f\;\leq\; F(b)-F(a)\;\leq\; S_f=s_f wegen fR[a,b]f\in R[a,b]   F(b)F(a)=Sf=sf\Rightarrow\; F(b)-F(a)=S_f=s_f=abf(x)  dx=\int\limits_a^b f(x)\; dx \qed
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F(x)F(x) blau und f(x)=F(x)f(x)=F\, '(x) rot

Beispiele

Beispiel

Es gibt Funktionen, die Stammfunktionen besitzen, aber nicht integrierbar sind. F(x)={x32sin1x fu¨x]0,1]0fu¨x=0F(x)=\begin{cases} x^\dfrac{3}{2}\sin\dfrac{1}{x}& \text{ für }x\in ]0,1]\\0 & \text{für }x=0\end{cases} FF ist differenzierbar auf [0,1][0,1]. Die Funktion f:=F=32xsin1x1xcos1xf:=F'=\dfrac 3 2{\sqrt x}\cdot\sin\dfrac 1 x - \dfrac 1{\sqrt x}\cdot\cos\dfrac 1x ist auf [0,1][0,1] unbeschränkt und daher nicht integrierbar. Jedoch hat ff eine Stammfunktion, nämlich FF.
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ff besitzt keine Stammfunktion

Beispiel

Es gibt Funktionen, die integrierbar sind, aber keine Stammfunktion besitzen.
f(x):={0 fu¨x[1,0[1fu¨x[0,1]f(x):=\begin{cases} 0& \text{ für }x\in [-1,0[\\ 1& \text{für }x\in [0,1]\end{cases}
ff ist monoton und ist daher nach Satz 16MG integrierbar auf [1,1][-1,1]. Angenommen es existiert eine Stammfunktion FF zu ff auf [1,1][-1,1].   F´=0\Rightarrow\; F´=0 auf [1,0[[-1,0[     Fc1\;\Rightarrow\; F\equiv c_1 (Folgerung 16MC) auf [1,0[[-1,0[ bzw. F´1F´\equiv 1 auf [0,1][0,1]     F(x)=x+c2\;\Rightarrow\; F(x)=x+c_2 auf [0,1][0,1]. Wäre FF differenzierbar, so wäre FF stetig in 00. c1=c2\Rightarrow c_1=c_2 und 0=limx0F(x)F(0)x0=limx0+F(x)F(0)x0=F(0)=f(0)=10={\lim_{x\to 0-} \dfrac{F(x)-F(0)}{x-0}}=\lim_{x\to 0+} \dfrac{F(x)-F(0)}{x-0}=F\, '(0)=f(0)=1. Widerspruch.

Beispiel

Sei 0<a<b0<a<b, f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} ff ist monoton fallend auf [a,b][a,b], daher nach Satz 16MG riemannintegrierbar. Die Logarithmusfunktion F(x):=lnxF(x):=\ln x ist Stammfunktion und FF differenzierbar auf [a,b][a,b] mit F=fF \, '=f. Nach Satz 15VL folgt:
ab1xdx=lnblna=ln(ba) \int\limits_a^b\dfrac{1}{x}\, dx =\ln b-\ln a=\ln\left(\dfrac{b}{a}\right)

Beispiel

f(x)=cosxf(x)=\cos x ist auf [0,π2]\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right] riemannintegrierbar, da ff dort monoton ist. F(x):=sinxF(x):=\sin x ist Stammfunktion und differenzierbar auf [0,π2]\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right] mit F=fF'=f. Also gilt:
0π2cosxdx\int\limits_0^\dfrac{\pi}{2} \cos x \, dx =sin(π2)sin(0)=1 = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\sin(0)=1.

Es gibt jedoch noch einen anderen Grund für die hohe Wertschätzung der Mathematik; sie allein bietet den Naturwissenschaften ein gewisses Maß an Sicherheit, das ohne Mathematik nicht erreichbar wäre.

Albert Einstein

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