Integrierbarkeit monotoner und stetiger Funktionen

Satz 16MG (Integrierbarkeit monotoner Funktionen)

Ist \(\displaystyle f: [a,b]\to \R\) monoton, so ist \(\displaystyle f\in R[a,b]\), also riemannintegrierbar.

Beweis

Sei \(\displaystyle n\in \N\) und \(\displaystyle Z=\{x_0,\ldots, x_n\}\) eine äquidistante Zerlegung von \(\displaystyle [a,b]\), also \(\displaystyle x_j=a+j\cdot\dfrac{b-a}{n}\) \(\displaystyle (j=0,\ldots, n)\). Wir führen den Beweis für monoton wachsendes \(\displaystyle f\), bei monoton fallender Funktion kann man analog schließen.Wegen der Monotonie ist \(\displaystyle m_j=\inf f(I_j)=f(x_{j-1}) \) und \(\displaystyle M_j=\sup f(I_j)=f(x_j)\) sowie \(\displaystyle |I_j|=\dfrac{b-a}{n}\).\(\displaystyle \Rightarrow\; S_f(Z)-s_f(Z)=\sum\limits_{j=1}^n f(x_j)\cdot \dfrac{b-a}{n}-\sum\limits_{j=1}^n f(x_{j-1})\cdot\dfrac{b-a}{n}\)\(\displaystyle =(f(x_n)-f(x_0))\cdot\dfrac{b-a}{n}\) \(\displaystyle =(f(b)-f(a))\cdot\dfrac{b-a}{n}=:c_n\).Die Folge \(\displaystyle c_n\) ist eine Nullfolge. Für \(\displaystyle \varepsilon>0\) wählen wir \(\displaystyle n_0\in \N\), sodass \(\displaystyle \forall n\geq n_0\) \(\displaystyle c_n<\varepsilon\).\(\displaystyle \Rightarrow \; \forall n\geq n_0\quad S_f(Z_n)-s_f(Z_n)<\varepsilon\) und nach Satz 16ME ist \(\displaystyle f\) riemannintegrierbar. \(\displaystyle \qed\)
 
 

Satz 16MH (Integrierbarkeit stetiger Funktionen)

Ist \(\displaystyle f\) auf \(\displaystyle [a,b]\) stetig, so ist \(\displaystyle f\) dort auch riemannintegrierbar (\(\displaystyle f \in C[a,b]\) \(\displaystyle \implies f \in R[a,b]\)).

Beweis

Sei \(\displaystyle f\in C[a,b]\) stetig. Dann ist \(\displaystyle f\) nach Satz 15FT beschränkt. Sei \(\displaystyle \varepsilon>0\). Da \(\displaystyle f\) nach Satz 16MB auf dem kompakten Intervall \(\displaystyle [a,b]\) gleichmäßig stetig ist, existiert ein \(\displaystyle \delta>0\) mit
\(\displaystyle \left|f(t)-f(s)\right|<\dfrac{\varepsilon}{b-a}\) für alle \(\displaystyle s,t\in [a,b]\) mit \(\displaystyle |t-s|<\delta\)
Sei nun \(\displaystyle Z=\{x_0,\ldots, x_n\}\) eine Zerlegung von \(\displaystyle [a,b]\) mit \(\displaystyle |I_j|<\delta\) für \(\displaystyle j=1,\ldots, n\).Dann gilt nach Satz 15FV \(\displaystyle m_j=\inf f(I_j)=f(\xi_j)\) und \(\displaystyle M_j=\sup f(I_j)=f(\eta_j)\) mit \(\displaystyle \xi_j, \eta_j\in I_j\).\(\displaystyle \Rightarrow M_j-m_j=f(\eta_j)-f(\xi_j)=|f(\eta_j)-f(\xi_j)|<\dfrac{\varepsilon}{b-a}\) und da \(\displaystyle \xi_j, \eta_j\in I_j\) und \(\displaystyle |I_j|<\delta\), gilt also auch \(\displaystyle |\eta_j-\xi_j|<\delta\).\(\displaystyle \Rightarrow S_f(Z)-s_f(Z)=\sum\limits_{j=1}^n \underbrace{(M_j-m_j)}_{<\dfrac{\varepsilon}{b-a}}\cdot|I_j|\)\(\displaystyle <\dfrac{\varepsilon}{b-a}\sum\limits_{j=1}^n|I_j|=\varepsilon\).Nach Satz 16ME ist \(\displaystyle f\) riemannintegrierbar. \(\displaystyle \qed\)

Riemannsche Summen

Seien \(\displaystyle a,b\in\R\) mit \(\displaystyle a<b\) und \(\displaystyle f:[a,b]\to \R\) sei beschränkt. \(\displaystyle m:=\inf f\left([a,b]\right)\); \(\displaystyle M:=\sup f\left([a,b]\right)\)
Sei \(\displaystyle Z = \{x_0, \ldots, x_n \}\) eine Zerlegung und für \(\displaystyle j=1,\ldots n\) seien \(\displaystyle I_j:=[x_{j-1}, x_j]\), \(\displaystyle |I_j|:= x_j-x_{j-1}\) sowie \(\displaystyle m_j:=\inf f(I_j)\) und \(\displaystyle M_j:=\sup f(I_j)\).
Wir bezeichnen mit \(\displaystyle |Z| := \max \{ |I_1|, \ldots, |I_n| \}\) die Feinheit der Zerlegung \(\displaystyle Z\). Ist \(\displaystyle \xi = \{ \xi_1, \ldots, \xi_n \}\) mit \(\displaystyle \xi_j \in I_j\) (\(\displaystyle j = 1,\ldots, n\)), so heißt \(\displaystyle \xi\) ein zu \(\displaystyle Z\) passender Zwischenvektor und
\(\displaystyle \sigma_f(Z, \xi) = \sum\limits_{j=1}^n f(\xi_j)|I_j| \)
eine Riemannsche Summe.

Satz 16MI

Sei \(\displaystyle (Z_n)\) eine Folge von Zerlegungen in \(\displaystyle \mathcal{Z}\), deren Feinheit eine Nullfolge ist (\(\displaystyle |Z_n| \to 0\)). Ferner sei \(\displaystyle \xi^{(n)}\) für jedes \(\displaystyle n \in \N\) ein zu \(\displaystyle Z_n\) passender Zwischenvektor.Dann gilt:
  1. \(\displaystyle s_f(Z_n) \to s_f \) und \(\displaystyle \; S_f(Z_n) \to S_f\) für \(\displaystyle n \to \infty\)
  2. Ist \(\displaystyle f \in R[a,b]\) integrierbar, so konvergiert die Riemannsche Summe gegen das bestimmte Integral:
    \(\displaystyle \sigma_f\left(Z_n, \xi^{(n)}\right) \,\to \int\limits_a^b f(x) \, dx \) für \(\displaystyle n \to \infty\)

Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanft ein.

Georg Christoph Lichtenberg

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