Integrierbarkeit monotoner und stetiger Funktionen

Satz 16MG (Integrierbarkeit monotoner Funktionen)

Ist f:[a,b]→Rf: [a,b]\to \R monoton, so ist f∈R[a,b]f\in R[a,b], also riemannintegrierbar.

Beweis

Sei n∈Nn\in \N und Z={x0,…,xn}Z=\{x_0,\ldots, x_n\} eine äquidistante Zerlegung von [a,b][a,b], also xj=a+j⋅b−anx_j=a+j\cdot\dfrac{b-a}{n} (j=0,…,n)(j=0,\ldots, n). Wir führen den Beweis für monoton wachsendes ff, bei monoton fallender Funktion kann man analog schließen. Wegen der Monotonie ist mj=inf⁡f(Ij)=f(xj−1)m_j=\inf f(I_j)=f(x_{j-1}) und Mj=sup⁡f(Ij)=f(xj)M_j=\sup f(I_j)=f(x_j) sowie ∣Ij∣=b−an |I_j|=\dfrac{b-a}{n}. ⇒  Sf(Z)−sf(Z)=∑j=1nf(xj)⋅b−an−∑j=1nf(xj−1)⋅b−an\Rightarrow\; S_f(Z)-s_f(Z)=\sum\limits_{j=1}^n f(x_j)\cdot \dfrac{b-a}{n}-\sum\limits_{j=1}^n f(x_{j-1})\cdot\dfrac{b-a}{n}=(f(xn)−f(x0))⋅b−an=(f(x_n)-f(x_0))\cdot\dfrac{b-a}{n} =(f(b)−f(a))⋅b−an=:cn=(f(b)-f(a))\cdot\dfrac{b-a}{n}=:c_n. Die Folge cnc_n ist eine Nullfolge. Für ε>0\varepsilon>0 wählen wir n0∈Nn_0\in \N, sodass ∀n≥n0\forall n\geq n_0 cn<ε c_n<\varepsilon. ⇒  ∀n≥n0Sf(Zn)−sf(Zn)<ε\Rightarrow \; \forall n\geq n_0\quad S_f(Z_n)-s_f(Z_n)<\varepsilon und nach Satz 16ME ist ff riemannintegrierbar. □\qed
 
 

Satz 16MH (Integrierbarkeit stetiger Funktionen)

Ist ff auf [a,b][a,b] stetig, so ist ff dort auch riemannintegrierbar (f∈C[a,b]f \in C[a,b]   ⟹  f∈R[a,b]\implies f \in R[a,b]).

Beweis

Sei f∈C[a,b]f\in C[a,b] stetig. Dann ist ff nach Satz 15FT beschränkt. Sei ε>0\varepsilon>0. Da ff nach Satz 16MB auf dem kompakten Intervall [a,b][a,b] gleichmäßig stetig ist, existiert ein δ>0\delta>0 mit
∣f(t)−f(s)∣<εb−a\left|f(t)-f(s)\right|<\dfrac{\varepsilon}{b-a} für alle s,t∈[a,b]s,t\in [a,b] mit ∣t−s∣<δ|t-s|<\delta
Sei nun Z={x0,…,xn}Z=\{x_0,\ldots, x_n\} eine Zerlegung von [a,b][a,b] mit ∣Ij∣<δ|I_j|<\delta für j=1,…,nj=1,\ldots, n. Dann gilt nach Satz 15FV mj=inf⁡f(Ij)=f(ξj)m_j=\inf f(I_j)=f(\xi_j) und Mj=sup⁡f(Ij)=f(ηj) M_j=\sup f(I_j)=f(\eta_j) mit ξj,ηj∈Ij\xi_j, \eta_j\in I_j. ⇒Mj−mj=f(ηj)−f(ξj)=∣f(ηj)−f(ξj)∣<εb−a\Rightarrow M_j-m_j=f(\eta_j)-f(\xi_j)=|f(\eta_j)-f(\xi_j)|<\dfrac{\varepsilon}{b-a} und da ξj,ηj∈Ij\xi_j, \eta_j\in I_j und ∣Ij∣<δ|I_j|<\delta, gilt also auch ∣ηj−ξj∣<δ|\eta_j-\xi_j|<\delta. ⇒Sf(Z)−sf(Z)=∑j=1n(Mj−mj)⎵<εb−a⋅∣Ij∣\Rightarrow S_f(Z)-s_f(Z)=\sum\limits_{j=1}^n \underbrace{(M_j-m_j)}_{<\dfrac{\varepsilon}{b-a}}\cdot|I_j|<εb−a∑j=1n∣Ij∣=ε<\dfrac{\varepsilon}{b-a}\sum\limits_{j=1}^n|I_j|=\varepsilon. Nach Satz 16ME ist ff riemannintegrierbar. □\qed

Riemannsche Summen

Seien a,b∈Ra,b\in\R mit a<ba<b und f:[a,b]→Rf:[a,b]\to \R sei beschränkt. m:=inf⁡f([a,b])m:=\inf f\left([a,b]\right); M:=sup⁡f([a,b])M:=\sup f\left([a,b]\right)
Sei Z={x0,…,xn}Z = \{x_0, \ldots, x_n \} eine Zerlegung und für j=1,…nj=1,\ldots n seien Ij:=[xj−1,xj]I_j:=[x_{j-1}, x_j], ∣Ij∣:=xj−xj−1|I_j|:= x_j-x_{j-1} sowie mj:=inf⁡f(Ij)m_j:=\inf f(I_j) und Mj:=sup⁡f(Ij) M_j:=\sup f(I_j).
Wir bezeichnen mit ∣Z∣:=max⁡{∣I1∣,…,∣In∣}|Z| := \max \{ |I_1|, \ldots, |I_n| \} die Feinheit der Zerlegung ZZ. Ist ξ={ξ1,…,ξn}\xi = \{ \xi_1, \ldots, \xi_n \} mit ξj∈Ij\xi_j \in I_j (j=1,…,nj = 1,\ldots, n), so heißt ξ\xi ein zu ZZ passender Zwischenvektor und
σf(Z,ξ)=∑j=1nf(ξj)∣Ij∣ \sigma_f(Z, \xi) = \sum\limits_{j=1}^n f(\xi_j)|I_j|
eine Riemannsche Summe.

Satz 16MI

Sei (Zn)(Z_n) eine Folge von Zerlegungen in Z\mathcal{Z}, deren Feinheit eine Nullfolge ist (∣Zn∣→0|Z_n| \to 0). Ferner sei ξ(n)\xi^{(n)} für jedes n∈Nn \in \N ein zu ZnZ_n passender Zwischenvektor. Dann gilt:
  1. sf(Zn)→sfs_f(Z_n) \to s_f und   Sf(Zn)→Sf\; S_f(Z_n) \to S_f für n→∞n \to \infty
  2. Ist f∈R[a,b]f \in R[a,b] integrierbar, so konvergiert die Riemannsche Summe gegen das bestimmte Integral:
    σf(Zn,ξ(n)) →∫abf(x) dx \sigma_f\left(Z_n, \xi^{(n)}\right) \,\to \int\limits_a^b f(x) \, dx für n→∞n \to \infty

Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.

Albert Einstein

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