Integrierbarkeit monotoner und stetiger Funktionen

Satz 16MG (Integrierbarkeit monotoner Funktionen)

Ist f:[a,b]Rf: [a,b]\to \R monoton, so ist fR[a,b]f\in R[a,b], also riemannintegrierbar.

Beweis

Sei nNn\in \N und Z={x0,,xn}Z=\{x_0,\ldots, x_n\} eine äquidistante Zerlegung von [a,b][a,b], also xj=a+jbanx_j=a+j\cdot\dfrac{b-a}{n} (j=0,,n)(j=0,\ldots, n). Wir führen den Beweis für monoton wachsendes ff, bei monoton fallender Funktion kann man analog schließen. Wegen der Monotonie ist mj=inff(Ij)=f(xj1)m_j=\inf f(I_j)=f(x_{j-1}) und Mj=supf(Ij)=f(xj)M_j=\sup f(I_j)=f(x_j) sowie Ij=ban |I_j|=\dfrac{b-a}{n}.   Sf(Z)sf(Z)=j=1nf(xj)banj=1nf(xj1)ban\Rightarrow\; S_f(Z)-s_f(Z)=\sum\limits_{j=1}^n f(x_j)\cdot \dfrac{b-a}{n}-\sum\limits_{j=1}^n f(x_{j-1})\cdot\dfrac{b-a}{n}=(f(xn)f(x0))ban=(f(x_n)-f(x_0))\cdot\dfrac{b-a}{n} =(f(b)f(a))ban=:cn=(f(b)-f(a))\cdot\dfrac{b-a}{n}=:c_n. Die Folge cnc_n ist eine Nullfolge. Für ε>0\varepsilon>0 wählen wir n0Nn_0\in \N, sodass nn0\forall n\geq n_0 cn<ε c_n<\varepsilon.   nn0Sf(Zn)sf(Zn)<ε\Rightarrow \; \forall n\geq n_0\quad S_f(Z_n)-s_f(Z_n)<\varepsilon und nach Satz 16ME ist ff riemannintegrierbar. \qed
 
 

Satz 16MH (Integrierbarkeit stetiger Funktionen)

Ist ff auf [a,b][a,b] stetig, so ist ff dort auch riemannintegrierbar (fC[a,b]f \in C[a,b]     fR[a,b]\implies f \in R[a,b]).

Beweis

Sei fC[a,b]f\in C[a,b] stetig. Dann ist ff nach Satz 15FT beschränkt. Sei ε>0\varepsilon>0. Da ff nach Satz 16MB auf dem kompakten Intervall [a,b][a,b] gleichmäßig stetig ist, existiert ein δ>0\delta>0 mit
f(t)f(s)<εba\left|f(t)-f(s)\right|<\dfrac{\varepsilon}{b-a} für alle s,t[a,b]s,t\in [a,b] mit ts<δ|t-s|<\delta
Sei nun Z={x0,,xn}Z=\{x_0,\ldots, x_n\} eine Zerlegung von [a,b][a,b] mit Ij<δ|I_j|<\delta für j=1,,nj=1,\ldots, n. Dann gilt nach Satz 15FV mj=inff(Ij)=f(ξj)m_j=\inf f(I_j)=f(\xi_j) und Mj=supf(Ij)=f(ηj) M_j=\sup f(I_j)=f(\eta_j) mit ξj,ηjIj\xi_j, \eta_j\in I_j. Mjmj=f(ηj)f(ξj)=f(ηj)f(ξj)<εba\Rightarrow M_j-m_j=f(\eta_j)-f(\xi_j)=|f(\eta_j)-f(\xi_j)|<\dfrac{\varepsilon}{b-a} und da ξj,ηjIj\xi_j, \eta_j\in I_j und Ij<δ|I_j|<\delta, gilt also auch ηjξj<δ|\eta_j-\xi_j|<\delta. Sf(Z)sf(Z)=j=1n(Mjmj)<εbaIj\Rightarrow S_f(Z)-s_f(Z)=\sum\limits_{j=1}^n \underbrace{(M_j-m_j)}_{<\dfrac{\varepsilon}{b-a}}\cdot|I_j|<εbaj=1nIj=ε<\dfrac{\varepsilon}{b-a}\sum\limits_{j=1}^n|I_j|=\varepsilon. Nach Satz 16ME ist ff riemannintegrierbar. \qed

Riemannsche Summen

Seien a,bRa,b\in\R mit a<ba<b und f:[a,b]Rf:[a,b]\to \R sei beschränkt. m:=inff([a,b])m:=\inf f\left([a,b]\right); M:=supf([a,b])M:=\sup f\left([a,b]\right)
Sei Z={x0,,xn}Z = \{x_0, \ldots, x_n \} eine Zerlegung und für j=1,nj=1,\ldots n seien Ij:=[xj1,xj]I_j:=[x_{j-1}, x_j], Ij:=xjxj1|I_j|:= x_j-x_{j-1} sowie mj:=inff(Ij)m_j:=\inf f(I_j) und Mj:=supf(Ij) M_j:=\sup f(I_j).
Wir bezeichnen mit Z:=max{I1,,In}|Z| := \max \{ |I_1|, \ldots, |I_n| \} die Feinheit der Zerlegung ZZ. Ist ξ={ξ1,,ξn}\xi = \{ \xi_1, \ldots, \xi_n \} mit ξjIj\xi_j \in I_j (j=1,,nj = 1,\ldots, n), so heißt ξ\xi ein zu ZZ passender Zwischenvektor und
σf(Z,ξ)=j=1nf(ξj)Ij \sigma_f(Z, \xi) = \sum\limits_{j=1}^n f(\xi_j)|I_j|
eine Riemannsche Summe.

Satz 16MI

Sei (Zn)(Z_n) eine Folge von Zerlegungen in Z\mathcal{Z}, deren Feinheit eine Nullfolge ist (Zn0|Z_n| \to 0). Ferner sei ξ(n)\xi^{(n)} für jedes nNn \in \N ein zu ZnZ_n passender Zwischenvektor. Dann gilt:
  1. sf(Zn)sfs_f(Z_n) \to s_f und   Sf(Zn)Sf\; S_f(Z_n) \to S_f für nn \to \infty
  2. Ist fR[a,b]f \in R[a,b] integrierbar, so konvergiert die Riemannsche Summe gegen das bestimmte Integral:
    σf(Zn,ξ(n))abf(x)dx \sigma_f\left(Z_n, \xi^{(n)}\right) \,\to \int\limits_a^b f(x) \, dx für nn \to \infty

Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

Albert Einstein

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