Gleichmäßige Stetigkeit

Ist $f\in C(D)$ eine stetige Funktion und $z\in D$, dann bedeutet Stetigkeit von $f$ in $z$: Es hängt dabei $\delta$ von $\varepsilon$ und von $z$ ab.

$D=[0,\infty[$, $f(x)=x^2$ und $z>0$. Sei $\varepsilon>0$ und sei $\delta>0$ so gewählt, dass

Wir setzen $x:=z+\dfrac{\delta}{2}$, dann gilt $|x-z|=\dfrac{\delta}{2}<\delta$, daher auch $|f(x)-f(z)|<\varepsilon$ d.h. $\left|x^2-z^2\right|<\varepsilon$, also wegen $x^2-z^2=(x-z)(x+z)$: $\underbrace{|x-z|\cdot |x+z|}_{=\frac{\delta}{2}(2z+\frac{\delta}{2})}<\varepsilon$ $\Rightarrow\; \dfrac{\delta}{2}\cdot\left(2z+\dfrac{\delta}{2}\right)=\delta z+\dfrac{\delta^2}{4}\;>\;\delta z$ $\Rightarrow\; \delta z<\varepsilon \;$$\Rightarrow\;\; \delta <\dfrac{\varepsilon}{z}$ $\Rightarrow \delta$ hängt von $\varepsilon$ und von $z$ ab. Je größer $z$ wird, desto kleiner muss $\delta$ werden, um die Gültigkeit von (1) zu gewährleisten. Die Anpassung des Stetigkeitskriteriums führt auf die gleichmäßige Stetigkeit.

$f:D\to \R$ heißt gleichmäßig stetig auf $D$, wenn gilt: In dieser Definition hängt $\delta$ nur von $\varepsilon$ ab. Die gleichmäßige Stetigkeit kann jedoch nicht mehr für einzelne Punkte definiert werden. Nach Definition ist sofort klar: $f$ gleichmäßig stetig auf $D$ $\Rightarrow$ $f$ stetig auf $D$. Die Umkehrung gilt jedoch im Allgemeinen nicht. Es gilt aber

Sei $D$ kompakt (also beschränkt und abgeschlossen) und $f$ stetig auf $D$. Dann ist $f$ auch gleichmäßig stetig auf $D$. Insbesondere sind stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen gleichmäßig stetig.

Der Satz ist ein Spezialfall von Satz 16JZ für metrische Räume und wurde dort bewiesen. $\qed$

$f=x^2$ und $D=[0,1]$. $\left|f(x)-f(z)\right|=|x^2-z^2|$$=|x+z|\cdot |x-z|\leq 2|x-z|$. Für $\varepsilon>0$ wählen wir daher $\delta:=\dfrac{\varepsilon}{2}$ und sehen, dass $f$ auf $[0,1]$ gleichmäßig stetig ist.

$f=\dfrac 1 x$ und $D=]0,1]$. $f$ ist nicht gleichmäßig stetig auf $D$.

Für $\epsilon=1$ zeigen wir, dass es für beliebiges $\delta>0$ $x,z\in]0,1]$ gibt, so dass $|x-z|<\delta$ und $\left|\dfrac 1 x -\dfrac 1 z\right|>=1$. 1. Fall $\delta>=1$: Die Behauptung ist mit $x=1$ und $z=\dfrac 1 3$ erfüllt, da $|x-z|=\left|1-\dfrac 1 3\right|$ $=\dfrac 2 3<\delta$, aber $\left|\dfrac 1 x -\dfrac 1 z\right|$ $=|1-3|=2>=1$. 2. Fall $\delta<1$: Setze $x=\delta$ und $z=\dfrac \delta 2$. Es gilt $|x-z|=\left|\delta-\dfrac \delta 2\right|$ $=-\dfrac \delta 2< \delta$, aber $\left|\dfrac 1 x -\dfrac 1 z\right|$ $=\left|\dfrac 1\delta -\dfrac 2\delta\right|$ $=\left|-\dfrac 1\delta \right|>1$, da $\delta<1$.