Lipschitz-Stetigkeit

Die Funktion $f: D\to \R$ heißt Lipschitz-stetig auf $D$, wenn ein $L\geq 0$ existiert, sodass Geometrisch bedeutet die Lipschitzstetigkeit, dass der Anstieg der Sekante an den Graphen an zwei beliebige Punkte aus $D$ immer $<=L$ ist.

Ist $f$ Lipschitz-stetig auf $D$, so ist $f$ auch gleichmäßig stetig auf $D$. (Zu $\varepsilon>0$ wählen wir $\delta:=\dfrac{\varepsilon}{L}$).

Eine gleichmäßig stetige Funktion muss nicht Lipschitz-stetig sein. $f(x):=\sqrt{x}$ und $D=[0,1]$. $f$ ist stetig und $D$ kompakt, also ist $f$ nach Satz 16MB gleichmäßig stetig. $f$ ist aber nicht Lipschitz-stetig. Annahme: Es existiert ein $L\geq 0$ mit Speziell für $z:=0$: was jedoch unmöglich ist, da $\sqrt{x} \to 0$ für $x \to 0$.

$f(x)=x^2$ ist auf $D=[0,1]$ Lipschitz-stetig, denn $|f(x)-f(z)|=|x^2-z^2|$ $=|(x+z)(x-z)|$ $<=2|x-z|$, da $x+z<=2$ für $x,z\in[0,1]$.