Unbestimmtes Integral und Stammfunktion

Als Stammfunktion oder unbestimmtes Integral einer reellen Funktion f bezeichnet man eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitungsfunktion F' mit f übereinstimmt. Ist also f auf einem Intervall I definiert, so muss F auf I definiert und differenzierbar sein, und es muss für beliebige Werte x aus I gelten:
F(x)=f(x)F'(x) \, = \, f(x)
Eine auf einem Intervall I definierte Funktion f hat unendlich viele Stammfunktionen. Ist nämlich F eine Stammfunktion von f, so ist für jede beliebige reelle Zahl C auch die durch G(x)=F(x)+CG(x) = F(x)+C definierte Funktion G eine Stammfunktion von f. Die Bezeichnung unbestimmtes Integral bezeichnet manchmal auch die Menge aller dieser Funktionen.
Ist f eine auf dem kompakten, also endlichen und abgeschlossenen Intervall [a,b] stetige Funktion, so lässt sich mit Hilfe einer beliebigen Stammfunktion F von f das bestimmte Integral von f über [a,b] berechnen:
abf(x)dx=F(b)F(a)\int\limits_a^b f(x) \, \mathrm dx = F(b)-F(a)
Stammfunktionen werden daher für verschiedene Berechnungen benötigt, z.B.:
  • Flächenberechnung für Flächen, die von Funktionsgraphen begrenzt werden
  • Volumenberechnung für Rotationskörper
Stammfunktionen einfacher Funktionen lassen sich nach einigen wenigen Regeln bestimmen. Eine Tabelle gibt eine Übersicht über die wichtigsten Funktionen und deren Stammfunktionen.
Für jede integrierbare Funktion f:[a,b]Rf: \, [a,b] \to \mathbb{R} ist eine Integralfunktion FF definiert durch
F(x)=axf(t)dtF(x) = \int\limits_a^x f(t) \mathrm{d}t\,
Diese Funktion ist stetig, und falls auch ff stetig ist, ist FF nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eine Stammfunktion von ff. Ist jedoch ff auf [a,b][a,b] integrierbar, aber nicht überall stetig, dann gilt zwar für alle c,dc,d aus [a,b][a,b]
cdf(t)dt=F(d)F(c),\int\limits_c^d f(t) \mathrm{d}t = F(d)-F(c),
aber FF ist in diesem Falle nicht überall differenzierbar und somit keine Stammfunktion von ff.
 
 

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

Galileo Galilei

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