Unbestimmtes Integral und Stammfunktion

Als Stammfunktion oder unbestimmtes Integral einer reellen Funktion f bezeichnet man eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitungsfunktion F' mit f übereinstimmt. Ist also f auf einem Intervall I definiert, so muss F auf I definiert und differenzierbar sein, und es muss für beliebige Werte x aus I gelten:
\(\displaystyle F'(x) \, = \, f(x)\)
Eine auf einem Intervall I definierte Funktion f hat unendlich viele Stammfunktionen. Ist nämlich F eine Stammfunktion von f, so ist für jede beliebige reelle Zahl C auch die durch \(\displaystyle G(x) = F(x)+C\) definierte Funktion G eine Stammfunktion von f. Die Bezeichnung unbestimmtes Integral bezeichnet manchmal auch die Menge aller dieser Funktionen.
Ist f eine auf dem kompakten, also endlichen und abgeschlossenen Intervall [a,b] stetige Funktion, so lässt sich mit Hilfe einer beliebigen Stammfunktion F von f das bestimmte Integral von f über [a,b] berechnen:
\(\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \, \mathrm dx = F(b)-F(a)\)
Stammfunktionen werden daher für verschiedene Berechnungen benötigt, z.B.:
  • Flächenberechnung für Flächen, die von Funktionsgraphen begrenzt werden
  • Volumenberechnung für Rotationskörper
Stammfunktionen einfacher Funktionen lassen sich nach einigen wenigen Regeln bestimmen. Eine Tabelle gibt eine Übersicht über die wichtigsten Funktionen und deren Stammfunktionen.
Für jede integrierbare Funktion \(\displaystyle f: \, [a,b] \to \mathbb{R}\) ist eine Integralfunktion \(\displaystyle F\) definiert durch
\(\displaystyle F(x) = \int\limits_a^x f(t) \mathrm{d}t\, \)
Diese Funktion ist stetig, und falls auch \(\displaystyle f\) stetig ist, ist \(\displaystyle F\) nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eine Stammfunktion von \(\displaystyle f\). Ist jedoch \(\displaystyle f\) auf \(\displaystyle [a,b]\) integrierbar, aber nicht überall stetig, dann gilt zwar für alle \(\displaystyle c,d\) aus \(\displaystyle [a,b]\)
\(\displaystyle \int\limits_c^d f(t) \mathrm{d}t = F(d)-F(c),\)
aber \(\displaystyle F\) ist in diesem Falle nicht überall differenzierbar und somit keine Stammfunktion von \(\displaystyle f\).
 
 

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert dem Artikel Stammfunktion aus der frеiеn Enzyklοpädιe Wιkιpеdιa und stеht unter der Dοppellizеnz GNU-Lιzenz für freie Dokumentation und Crеative Commons CC-BY-SA 3.0 Unportеd (Kurzfassung). In der Wιkιpеdιa ist eine Listе dеr Autorеn des Originalartikels verfügbar. Da der Artikel geändert wurde, reicht die Angabe dieser Liste für eine lizenzkonforme Weiternutzung nicht aus!
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе