Unbestimmtes Integral und Stammfunktion

Als Stammfunktion oder unbestimmtes Integral einer reellen Funktion f bezeichnet man eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitungsfunktion F' mit f übereinstimmt. Ist also f auf einem Intervall I definiert, so muss F auf I definiert und differenzierbar sein, und es muss für beliebige Werte x aus I gelten:
F′(x) = f(x)F'(x) \, = \, f(x)
Eine auf einem Intervall I definierte Funktion f hat unendlich viele Stammfunktionen. Ist nämlich F eine Stammfunktion von f, so ist für jede beliebige reelle Zahl C auch die durch G(x)=F(x)+CG(x) = F(x)+C definierte Funktion G eine Stammfunktion von f. Die Bezeichnung unbestimmtes Integral bezeichnet manchmal auch die Menge aller dieser Funktionen.
Ist f eine auf dem kompakten, also endlichen und abgeschlossenen Intervall [a,b] stetige Funktion, so lässt sich mit Hilfe einer beliebigen Stammfunktion F von f das bestimmte Integral von f über [a,b] berechnen:
∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int\limits_a^b f(x) \, \mathrm dx = F(b)-F(a)
Stammfunktionen werden daher für verschiedene Berechnungen benötigt, z.B.:
  • Flächenberechnung für Flächen, die von Funktionsgraphen begrenzt werden
  • Volumenberechnung für Rotationskörper
Stammfunktionen einfacher Funktionen lassen sich nach einigen wenigen Regeln bestimmen. Eine Tabelle gibt eine Übersicht über die wichtigsten Funktionen und deren Stammfunktionen.
Für jede integrierbare Funktion f: [a,b]→Rf: \, [a,b] \to \mathbb{R} ist eine Integralfunktion FF definiert durch
F(x)=∫axf(t)dt F(x) = \int\limits_a^x f(t) \mathrm{d}t\,
Diese Funktion ist stetig, und falls auch ff stetig ist, ist FF nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eine Stammfunktion von ff. Ist jedoch ff auf [a,b][a,b] integrierbar, aber nicht überall stetig, dann gilt zwar für alle c,dc,d aus [a,b][a,b]
∫cdf(t)dt=F(d)−F(c),\int\limits_c^d f(t) \mathrm{d}t = F(d)-F(c),
aber FF ist in diesem Falle nicht überall differenzierbar und somit keine Stammfunktion von ff.
 
 

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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