Integrationsregeln

Das Integrieren kann man als Umkehroperation des Differenzierens auffassen und damit die ersten Eigenschaften für das unbestimmte Integral formulieren.

Satz 5315B (Integrationsregeln)

  1. Linearität
    ∫(u(x)+v(x)) d⁡x=∫u(x) d⁡x+∫v(x) d⁡x\int\limits (u(x)+v(x)) \, \d x=\int\limits u(x) \, \d x+\int\limits v(x) \, \d x
    ∫c⋅u(x) d⁡x=c∫u(x) d⁡x\int\limits c\cdot u(x) \, \d x=c \int\limits u(x) \, \d x c∈Rc\in \dom R
  2. Partielle Integration
    ∫u(x)v′(x) d⁡x=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x) d⁡x\int\limits u(x)v'(x)\, \d x=u(x)v(x)-\int\limits u'(x)v(x)\, \d x
  3. Quotienten
    ∫u′(x)u(x) d⁡x=ln⁡∣u(x)∣\int\limits \dfrac {u'(x)}{u(x)} \, \d x=\ln|u(x)|
  4. Substitutionsregel
    ∫f(g(x))⋅g′(x) d⁡x=F(g(x))\int\limits {f(g(x))\cdot g'(x) \, \d x}= F(g(x)) wenn F ′=fF\, '=f
  5. ∫f(ax+b) d⁡x=1aF(ax+b)\int\limits f(ax+b)\, \d x=\dfrac 1 a F(ax+b) für a,b∈Ra,b\in\dom R und F ′=fF\, '=f

Beweis

Die Behauptungen i. und ii. entsprechen der Additivität der Ableitung und der Produktregel.
iii. folgt aus (ln⁡u(x))′=u′(x)u(x)(\ln u(x))'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}
iv. folgt aus der Kettenregel [F(g(x))]′=F ′(g(x))⋅g′(x)[F(g(x))]'=F\, '(g(x))\cdot g'(x) und v. ist ein Spezialfall von iv.

Beispiele

Die folgenden Beispiele benutzen die Grundintegrale aus Satz 5315A und die Integrationsregeln aus Satz 5315B.

Substitutionsregel

∫sin⁡2x⋅cos⁡x d⁡x=∫sin⁡2x⋅(sin⁡x)′ d⁡x=sin⁡3x3\int\limits {\sin^2 x\cdot \cos x \, \d x}=\int\limits {\sin^2 x\cdot (\sin x)' \, \d x}=\dfrac {\sin^3 x} 3

Partielle Integration

∫sin⁡2(x)  dx\int\limits\sin^2(x)\; dx =∫sin⁡(x)sin⁡(x)  dx =\int\limits \sin(x)\sin(x) \; dx=−cos⁡(x)sin⁡(x)−∫(−cos⁡(x))cos⁡(x)  dx =-\cos(x)\sin(x)-\int\limits \left(-\cos (x)\right)\cos(x)\; dx =−cos⁡(x)sin⁡(x)+∫cos⁡2(x)⎵1−sin⁡2(x)  dx=-\cos (x)\sin(x)+\int\limits \underbrace{\cos^2(x)}_{1-\sin^2(x)}\; dx=x−cos⁡(x)sin⁡(x)−∫sin⁡2(x)  dx =x-\cos(x)\sin(x)-\int\limits \sin^2(x)\; dx
⇒2∫sin⁡2(x)  dx=x−cos⁡(x)sin⁡(x)+c\Rightarrow 2\int\limits \sin^2(x)\; dx = x-\cos(x)\sin(x)+c ⇒∫sin⁡2(x)  dx=12(x−sin⁡(x)cos⁡(x))+c\Rightarrow \int\limits\sin^2(x)\; dx =\dfrac{1}{2} \left(x-\sin(x)\cos(x)\right)+c
 
 

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Archimedes

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