Mittelwertsatz der Integralrechnung

Satz 15VJ (Mittelwertsatz der Integralrechnung)

Sei \(\displaystyle f\) eine auf dem Intervall \(\displaystyle [a,b]\) stetige Funktion. Dann gibt es ein \(\displaystyle x_0\in[a,b]\) mit:
\(\displaystyle \int\limits_a^bf(x)\d x=(b-a)f(x_0)\)

Geometrische Deutung

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Wir können immer ein \(\displaystyle x_0\in[a,b]\) finden, so dass der Flächeninhalt unter der Kurve zwischen \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) dem eines Rechtecks mit den Seitenlängen \(\displaystyle b-a\) und \(\displaystyle f(x_0)\) entspricht.
 
 

Beweis

Nach Satz 16MA ist \(\displaystyle f([a,b])\) ein Intervall.
Nach Satz 15FV nimmt \(\displaystyle f\) auf \(\displaystyle [a,b]\) das Minimum \(\displaystyle m\) und das Maximum \(\displaystyle M\) an. Es gilt:
\(\displaystyle m(b-a) \leq s_f\)\(\displaystyle = \int\limits_a^bf(x)\d x\)\(\displaystyle =S_f\leq M(b-a)\),
also
\(\displaystyle m\leq\dfrac 1 {b-a} \int\limits_a^b{f(x)\d x}\leq M\).
Nach dem Zwischenwertsatz muss es dann ein \(\displaystyle x_0\) geben, mit \(\displaystyle f(x_0)= \dfrac 1 {b-a}\int\limits_a^bf(x)\d x\). \(\displaystyle \qed\)

Scherzhafte Beispiele haben manchmal größere Bedeutung als ernste.

Michael Stifel

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