Zwischenwertsatz

Satz 15VA (Zwischenwertsatz)

Sei ff auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b][a,b] stetig, m=min⁡x∈[a,b]f(x)m=\min_{x\in[a,b]} f(x) und M=max⁡x∈[a,b]f(x)M=\max_{x\in[a,b]} f(x). Für jedes y0∈]m,M[y_0\in ]m,M[ gibt es ein x0∈[a,b]x_0\in [a,b] mit y0=f(x0)y_0=f(x_0)

Beweis

Das in den Voraussetzungen angenommene Minimum und Maximum der Funktionswerte existiert nach Satz 15FV.
Für ein gesuchtes y0y_0 betrachten wir die Funktion g(x):=f(x)−y0g(x):=f(x)-y_0. Diese ist nach Satz 5227M stetig. Sei jetzt a′∈[a,b]a'\in[a,b] so gewählt, dass f(a′)=mf(a')=m und analog b′∈[a,b]b'\in[a,b], so dass f(b′)=Mf(b')=M. Dann gilt g(a′)<0g(a')<0 und g(b′)>0g(b')>0 und wir können auf das abgeschlossene Intervall [min⁡{a′,b′},max⁡{a′,b′}]⊆[a,b][\min\{a',b'\},\max\{a',b'\}]\subseteq[a,b] Satz 15V9 anwenden. Es gibt also ein x0x_0 mit g(x0)=0g(x_0)=0, also f(x0)=y0f(x_0)=y_0. □\qed

Satz 16MA

Sei I⊂RI \subset \R ein Intervall und f∈C(I)f \in C(I) eine stetige Funktion. Dann gilt:
  1. f(I)f(I) ist ein Intervall
  2. Für I=[a,b]I = [a,b], A:=min⁡f(I)A := \min f(I), B:=max⁡f(I)B := \max f(I) ist f(I)=[A,B]f(I) = [A, B].

Beweis

Wir bemerken zuerst: Ist M⊂RM\subset\R (M¬=∅M\not=\emptyset). Dann ist MM ein Intervall   ⇔  ∀a,b∈M \;\Leftrightarrow\; \forall a,b\in M\, mit a≤ba\leq b gilt: [a,b]⊂M[a,b]\subset M. Zum Beweis: (i) Seien α,β∈f(I)\alpha, \beta \in f(I), und sei o.B.d.A. α≤β\alpha \leq \beta Nach dem Zwischenwertsatz gilt [α,β]⊂f(I)[\alpha, \beta] \subset f(I) und nach obiger Bemerkung ist dann f(I)f(I) ein Intervall. (ii) Klar ist: f(I)⊂[A,B]f(I) \subset [A,B] Nach (i) ist f(I)f(I) ein Intervall und A,B∈f(I)A,B \in f(I). ⇒  [A,B]⊂f(I)\Rightarrow\; [A,B] \subset f(I) (nach obiger Bemerkung) ⇒  f(I)=[A,B]\Rightarrow\; f(I) = [A,B] □\qed
 
 

In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.

K. Urbanik

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