Rotationskörper

Rotationskörper werden in der Geometrie Körper genannt, die durch Rotation einer in einer Ebene liegenden erzeugenden Fläche um eine in derselben Ebene liegende, aber die Fläche nicht schneidende Rotationsachse gebildet wird. Ein bekannter Rotationskörper ist der Torus, der durch die Rotation eines Kreises gebildet wird. Auch Körper wie Zylinder und Hohlzylinder zählen zu den Rotationskörpern.
Das Volumen und die Oberfläche werden mit den Guldinschen Regeln errechnet.

Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers

Für einen Rotationskörper, der durch Rotation des Graphen der Funktion f im Intervall [a,b] um die x-Achse entsteht, lautet die Formel zur Volumenberechnung: Bei Rotation um die y-Achse muss man y=f(x)y=f(x) umformen zu x=f−1(y)x=f^{-1}(y)
x-Achse:
V=π⋅∫ab(f(x))2⋅dxV = \pi \cdot \int\limits_a^b (f(x))^2 \cdot dx
y-Achse:
V=π⋅∫f(a)f(b)(f−1(y))2⋅dyV = \pi \cdot \int\limits_{f(a)}^{f(b)} (f^{-1}(y))^2 \cdot dy
Wenn man hier x=f−1(y)x = f^{-1}(y) substituiert, erhält man für das Volumen um die y-Achse V=π⋅∫abx2⋅f′(x)⋅dxV = \pi \cdot \int\limits_a^b x^2 \cdot f'(x) \cdot dx.

Herleitung der Formel für das Volumen eines Rotationskörpers

Der Rauminhalt des Rotationskörpers auf der x-Achse im Intervall [a;b] wird in n kleine Zylinder mit der Querschnittsfläche r2⋅πr^2 \cdot \pi (Kreis) und der Höhe Δx=(b−an)\Delta x=\over{b-a}{ n} zerlegt. Anschließend lässt man die Anzahl der Zylinder gegen unendlich streben n→∞n \to \infty, wobei die Höhe der kleinen Zylinder gegen 0 strebt Δx→0\Delta x \to 0. Schließlich müssen nur mehr alle Zylinder summiert werden.
r=f(xi)r = f(x_i) Der Radius ist gleich dem Funktionswert von xix_i
V=∑i=1nf2(xi)⋅π⋅ΔxV = \sum\limits_{i=1}^{n} f^2(x_i) \cdot \pi \cdot \Delta x
Das sind die Riemann-Summen.
V=lim⁡n→∞∑i=1nf2(xi)⋅π⋅ΔxV = \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n} f^2(x_i) \cdot \pi \cdot \Delta x
V=∫abf2(x)⋅π⋅dxV = \int\limits_a^b f^2(x) \cdot \pi \cdot dx
π\pi kann man jetzt noch vor das Integralzeichen stellen, dann erhält man die Formel:
V=π⋅∫abf2(x)⋅dx=π⋅∫aby2⋅dxV = \pi \cdot \int\limits_a^b f^2(x) \cdot dx = \pi \cdot \int\limits_a^b y^2 \cdot dx

Erstes Guldinsches Postulat

Die Mantelfläche eines Rotationskörpers, dessen Rotationsachse die erzeugende Linie nicht schneidet, ist gleich dem Produkt aus der Länge der erzeugenden Linie und dem Umfang des durch die Rotation des Schwerpunktes der Umfangslinie (Linienschwerpunkt) erzeugten Kreises:
S=L⋅2πRS = L \cdot 2 \pi R
Beispiel: Oberfläche eines Torus:
S=2πr⋅2πR=4π2rRS = 2 \pi r \cdot 2 \pi R = 4 \pi^2 r R
SS = Oberfläche
LL = Länge der erzeugenden Linie
RR = Radius des Schwerpunktkreises der erzeugenden Fläche (Kurvenschwerpunkt!)
rr = Radius des erzeugten Kreises

Zweites Guldinsches Postulat

Das Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt der erzeugenden Fläche und dem Umfang des durch die Rotation des Schwerpunktes dieser Fläche erzeugten Kreises:
V=A⋅2πRV = A \cdot 2 \pi R
Beispiel: Volumen eines Torus:
V=πr2⋅2πR=2π2r2RV = \pi r^2 \cdot 2 \pi R = 2 \pi^2 r^2 R
VV = Volumen
AA = Flächeninhalt der erzeugenden Fläche
RR = Radius des Schwerpunktkreises der erzeugenden Fläche
rr = Radius des erzeugten Kreises

Einzelne Rotationskörper

  • Rotationsparaboloid
  • Rotationshyperboloid
  • Rotationsellipsoid
  • Kegel
  • Kugel
  • Tonne
  • Nadel
  • Torus
  • Pseudosphäre
 
 

Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.

Albert Einstein

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