Bogenlänge

Bogenlaenge.png
Um die Länge eines Kurvenbogens der Funktion \(\displaystyle y=f(x)\) im Intervall \(\displaystyle [a,b]\) zu berechnen, zerlegen wir das Intervall \(\displaystyle [a,b]\) durch Einfügen von Teilpunkten \(\displaystyle x_i\) \(\displaystyle (i=0,\ldots ,n)\) Dabei soll \(\displaystyle a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_n=b\) gelten.
Für zwei solche Teilpunkte \(\displaystyle x_k\) und \(\displaystyle x_{k+1}\) wird der Kurvenbogen durch die Strecke \(\displaystyle \overline{AB}\) angenähert (siehe Graphik). Dabei gilt
\(\displaystyle l(\overline{AB})=\sqrt{(f(x_{k+1})-f(x_{k}) )^2 +(x_{k+1}-x_k)^2 }\)
und für die Länge \(\displaystyle l_n\) aller Streckensegmente des Kurvenbogens über das gesamte Intervall \(\displaystyle [a,b]\):
\(\displaystyle l_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1} \sqrt{(f(x_{k+1})-f(x_{k}) )^2 +(x_{k+1}-x_k)^2 }\).
Nun formen wir dies zu
\(\displaystyle l_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1} {\sqrt{1+{\braceNT{\dfrac{ f(x_{k+1})-f(x_{k})}{x_{k+1}-x_k}}}^2 } (x_{k+1}-x_k)}\)
um. Jetzt lassen wir die Länge der einzelnen Teilintervalle gegen 0 gehen und erhalten für die Länge \(\displaystyle l\) des Kurvenbogens das Integral:
 
 

Formel 15W1 (Bogenlänge einer Kurve)

\(\displaystyle l=\int\limits_a^b {\sqrt {1+[f\, '(x)]^2}\d x}\)
Existiert dieses bestimmte Integral, so heißt die Kurve rektifizierbar.

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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