Bogenlänge

Bogenlaenge.png
Um die Länge eines Kurvenbogens der Funktion y=f(x)y=f(x) im Intervall [a,b][a,b] zu berechnen, zerlegen wir das Intervall [a,b][a,b] durch Einfügen von Teilpunkten xix_i (i=0,…,n)(i=0,\ldots ,n) Dabei soll a=x0<x1<x2<…<xn=ba=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_n=b gelten.
Für zwei solche Teilpunkte xkx_k und xk+1x_{k+1} wird der Kurvenbogen durch die Strecke AB‾\overline{AB} angenähert (siehe Graphik). Dabei gilt
l(AB‾)=(f(xk+1)−f(xk))2+(xk+1−xk)2l(\overline{AB})=\sqrt{(f(x_{k+1})-f(x_{k}) )^2 +(x_{k+1}-x_k)^2 }
und für die Länge lnl_n aller Streckensegmente des Kurvenbogens über das gesamte Intervall [a,b][a,b]:
ln=∑k=0n−1(f(xk+1)−f(xk))2+(xk+1−xk)2l_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1} \sqrt{(f(x_{k+1})-f(x_{k}) )^2 +(x_{k+1}-x_k)^2 }.
Nun formen wir dies zu
ln=∑k=0n−11+(f(xk+1)−f(xk)xk+1−xk)2(xk+1−xk)l_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1} {\sqrt{1+{\braceNT{\dfrac{ f(x_{k+1})-f(x_{k})}{x_{k+1}-x_k}}}^2 } (x_{k+1}-x_k)}
um. Jetzt lassen wir die Länge der einzelnen Teilintervalle gegen 0 gehen und erhalten für die Länge ll des Kurvenbogens das Integral:
 
 

Formel 15W1 (Bogenlänge einer Kurve)

l=∫ab1+[f ′(x)]2d⁡xl=\int\limits_a^b {\sqrt {1+[f\, '(x)]^2}\d x}
Existiert dieses bestimmte Integral, so heißt die Kurve rektifizierbar.

Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

Albert Einstein

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