Länge eines Parabelbogens

Beispiel

Sei f(x)=px2f(x)=px^2 eine Parabel. Wir wollen die Länge ll der Kurve im Intervall [0,a][0,a] bestimmen.
Zuerst bestimmen wir f ′(x)=2pxf\, '(x)=2px und setzen dies in Formel 15W1 ein, um
l=∫0a1+4p2x2d⁡xl=\int\limits_0^a \sqrt{1+4p^2x^2}\d x =2p∫0a1(2p)2+x2d⁡x=2p\int\limits_0^a \sqrt{\dfrac 1{(2p)^2} +x^2}\d x
zu erhalten. Benutzen wir das Ergebnis aus Beispiel 5319C, um das Integral aufzulösen, ergibt sich
2p[x21(2p)2+x2+18p2arsinh2px]0a2p{\ntxbraceL{\dfrac {x} 2 \sqrt{\dfrac 1{(2p)^2} +x^2}+\dfrac 1 {8p^2} \mathrm{arsinh }2px}}_0^a
und mit der Definition des Areasinus: [x21+4p2x2+14pln⁡(2px+1+4p2x2)]0a{\ntxbraceL{\dfrac {x} 2 \sqrt{1 +4p^2x^2}+\dfrac 1 {4p}\ln( 2px+\sqrt{1+4p^2x^2})}}_0^a. Und als Ergebnis:
a21+4p2a2+14pln⁡(2pa+1+4p2a2){{\dfrac {a} 2 \sqrt{1 +4p^2a^2}+\dfrac 1 {4p}\ln( 2pa+\sqrt{1+4p^2a^2})}}
Für die Normalparabel im Intervall [0;1][0;1] ergibt sich eine Länge von 125+14ln⁡(2+5)≈1,47894\dfrac 1 2 \sqrt 5+\dfrac 1 4\ln(2+\sqrt 5)\approx 1,47894. Damit ist der Bogen nur unwesentlich länger als die Diagonale im Einheitsquadrat.
 
 

Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

Albert Einstein

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