Beispiel 5316C
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 − a 2 2 arccos x a + C \int\limits \sqrt {a^2-x^2}\, \d x=\dfrac {x} 2 \sqrt{a^2-x^2 }-\dfrac {a^2} 2 \arccos \dfrac x a+C ∫ a 2 − x 2 d x = 2 x a 2 − x 2 − 2 a 2 arccos a x + C Herleitung
Wir benutzen die
Substitution x = a cos t x=a\cos t x = a cos t und
d x = − a sin t d t {\d x}=\uminus a\sin t \, \d t d x = − a sin t d t und erhalten
∫ a 2 − x 2 d x = ∫ a 2 − a 2 cos 2 t ⋅ ( − a ) sin t d t \int\limits \sqrt {a^2-x^2}\, \d x = \int\limits \sqrt {a^2-a^2 \cos^2 t}\cdot (\uminus a)\sin t \, \d t ∫ a 2 − x 2 d x = ∫ a 2 − a 2 cos 2 t ⋅ ( − a ) sin t d t = − a ∫ a 2 ( 1 − cos 2 t ) ⋅ sin t d t =\uminus a \int\limits \sqrt {a^2(1- \cos^2 t)}\cdot \sin t \, \d t = − a ∫ a 2 ( 1 − cos 2 t ) ⋅ sin t d t = − a 2 ∫ sin t ⋅ sin t d t =\uminus a^2 \int\limits {\sin t \cdot \sin t \, \d t} = − a 2 ∫ sin t ⋅ sin t d t (
Satz 5220B )
= − a 2 ∫ sin 2 t d t =\uminus a^2 \int\limits {\sin^2 t \, \d t} = − a 2 ∫ sin 2 t d t = − a 2 ∫ 1 2 ( 1 − cos 2 t ) d t =\uminus a^2 \int\limits {\dfrac 1 2 (1- \cos 2 t) \, \d t} = − a 2 ∫ 2 1 ( 1 − cos 2 t ) d t (
Satz 5316D )
= − a 2 2 ( t − 1 2 sin 2 t ) =-\dfrac {a^2} 2 \braceNT{t-\dfrac 1 2 \sin 2t} = − 2 a 2 ( t − 2 1 sin 2 t ) = − a 2 2 t + a 2 4 sin 2 t =-\dfrac {a^2} 2 t+ \dfrac {a^2} 4 \sin 2t = − 2 a 2 t + 4 a 2 sin 2 t = − a 2 2 t + a 2 2 sin t ⋅ cos t =-\dfrac {a^2} 2 t+ \dfrac {a^2} 2 \sin t\cdot \cos t = − 2 a 2 t + 2 a 2 sin t ⋅ cos t (
Satz 5220A )
= − a 2 2 arccos x a + a 2 2 sin arccos x a ⋅ cos arccos x a =-\dfrac {a^2} 2 \arccos \dfrac x a+ \dfrac {a^2} 2 \sin \arccos \dfrac x a\cdot \cos \arccos \dfrac x a = − 2 a 2 arccos a x + 2 a 2 sin arccos a x ⋅ cos arccos a x (Rücksubstitution
t = arccos x a t=\arccos \dfrac x a t = arccos a x )
= − a 2 2 arccos x a + a x 2 sin arccos x a =-\dfrac {a^2} 2 \arccos \dfrac x a+ \dfrac {a x} 2 \sin \arccos \dfrac x a = − 2 a 2 arccos a x + 2 a x sin arccos a x = − a 2 2 arccos x a + a x 2 1 − ( x a ) 2 =-\dfrac {a^2} 2 \arccos \dfrac x a+ \dfrac {a x} 2 \sqrt{1- {\braceNT{\dfrac x a}}^2 } = − 2 a 2 arccos a x + 2 a x 1 − ( a x ) 2 (
Satz 5316E )
= − a 2 2 arccos x a + x 2 a 2 − x 2 =-\dfrac {a^2} 2 \arccos \dfrac x a+ \dfrac {x} 2 \sqrt{a^2-x^2 } = − 2 a 2 arccos a x + 2 x a 2 − x 2 Die Integrationskonstante wurde der Übersicht halber weggelassen.
Beispiel 5319C
∫ a 2 + x 2 d x = x 2 a 2 + x 2 + a 2 2 a r s i n h x a + C \int\limits \sqrt {a^2+x^2}\, \d x=\dfrac {x} 2 \sqrt{a^2+x^2 }+\dfrac {a^2} 2 \mathrm{arsinh} \dfrac x a+C ∫ a 2 + x 2 d x = 2 x a 2 + x 2 + 2 a 2 a r s i n h a x + C
Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.
Paul Erdös
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