Beispiel 167H

∫d⁡xx2±a2=ln⁡∣x+x2±a2∣+C\int\limits \dfrac{ \d x}{\sqrt {x^2\pm a^2}}=\ln\ntxbraceI{x+\sqrt{x^2\pm a^2}}+C

Herleitung

Wir benutzen die Substitution x2±a2=t−x\sqrt {x^2\pm a^2}=t-x   ⟹  x2±a2=t2−2tx+x2\implies x^2\pm a^2=t^2-2tx+x^2   ⟹  x=t2∓a22t\implies x=\dfrac {t^2\mp a^2}{2t}
x2±a2=t−t2∓a22t\sqrt {x^2\pm a^2}=t-\dfrac {t^2\mp a^2}{2t} =t2±a22t=\dfrac {t^2\pm a^2}{2t}
d⁡xd⁡t=2t⋅2t−2(t2∓a2)4t2\dfrac {\d x}{\d t}=\dfrac {2t\cdot 2t-2(t^2\mp a^2)}{4t^2} =2t2±2a24t2=\dfrac {2t^2\pm 2a^2}{4t^2} =t2±a22t2=\dfrac {t^2\pm a^2}{2t^2}
∫d⁡xx2±a2\int\limits \dfrac{ \d x}{\sqrt {x^2\pm a^2}} =∫2tt2±a2⋅t2±a22t2d⁡t= \int\limits\dfrac{2t} {t^2\pm a^2}\cdot \dfrac {t^2\pm a^2}{2t^2} \d t =∫d⁡tt=\int\limits \dfrac {\d t} t =ln⁡∣t∣+C=\ln|t|+C
Nach der Rücksubstitution: ∫d⁡xx2±a2=ln⁡∣x+x2±a2∣+C\int\limits \dfrac{ \d x}{\sqrt {x^2\pm a^2}}=\ln\ntxbraceI{x+\sqrt{x^2\pm a^2}}+C
 
 

Es gibt jedoch noch einen anderen Grund für die hohe Wertschätzung der Mathematik; sie allein bietet den Naturwissenschaften ein gewisses Maß an Sicherheit, das ohne Mathematik nicht erreichbar wäre.

Albert Einstein

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Unbestimmtes Integral