Beispiel 167I

\int\limits \dfrac{ \d x}{x\sqrt {a^2\pm x^2 }}=-\dfrac 1 a\ln \dfrac {a+\sqrt {a^2\pm x^2}} x+C

Wir benutzen die Substitution

x=\dfrac 1 t

. Dann ist

\d x=-\dfrac {\d t} {t^2}

x\sqrt {a^2\pm x^2}=\dfrac 1 t \sqrt{a^2\pm \dfrac 1 {t^2} }

=\dfrac 1 t \sqrt{\dfrac {a^2}{t^2}\braceNT{ t^2\pm \dfrac 1 {a^2}} }

=\dfrac a {t^2} \sqrt{ t^2\pm \dfrac 1 {a^2}}

\int\limits \dfrac{ \d x}{x\sqrt {a^2\pm x^2}}

=-\dfrac 1 a \int\limits \dfrac {t^2} {\sqrt{ t^2\pm \dfrac 1 {a^2}}}\cdot \dfrac 1 {t^2} \d t

=-\dfrac 1 a \int\limits \dfrac {\d t} {\sqrt{ t^2\pm \dfrac 1 {a^2}}}

=-\dfrac 1 a\ln \braceNT {t+\sqrt{ t^2\pm \dfrac 1 {a^2}}}+C

=-\dfrac 1 a\ln \braceNT {\dfrac 1 x +\dfrac 1 {ax} \sqrt {a^2\pm x^2}}+C

=-\dfrac 1 a\ln \braceNT {\dfrac {a +\sqrt {a^2\pm x^2}} {ax}}+C

=-\dfrac 1 a\ln {\dfrac {a +\sqrt {a^2\pm x^2}} {x}}+C_1

Beispiel 167J

\int\limits \dfrac{\sqrt {a^2\pm x^2}} {x} \, \d x = \sqrt {a^2\pm x^2} - a\ln \dfrac {a+\sqrt {a^2\pm x^2}} x+C

\int\limits \dfrac{\sqrt {a^2\pm x^2}} {x} \, \d x

=\int\limits \dfrac {a^2\pm x^2} {x\braceNT{\sqrt {a^2\pm x^2}}}\, \d x

=\int\limits \dfrac {a^2} {x\braceNT{\sqrt {a^2\pm x^2}}}\, \d x \pm \int\limits \dfrac { x^2} {x\braceNT{\sqrt {a^2\pm x^2}}}\, \d x

=- a\ln \dfrac {a+\sqrt {a^2\pm x^2}} x \pm \int\limits \dfrac { x} {\sqrt {a^2\pm x^2}}\, \d x

(nach Beispiel 167I)

=- a\ln \dfrac {a+\sqrt {a^2\pm x^2}} x+ \sqrt {a^2\pm x^2}+C

Hochtechnologie ist im wesentlichen mathematische Technologie.

Enquete-Kommission der Amerikanischen Akademie der Wissenschaften

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