Beziehungen zwischen Arkusfunktionen

Satz 5316E

  1. arcsin⁡x=−arcsin⁡(−x)=π2−arccos⁡x\arcsin x=-\arcsin(-x)= \dfrac \pi 2 -\arccos x arccos⁡x=π−arccos⁡(−x)=π2−arcsin⁡x\arccos x=\pi-\arccos(-x)=\dfrac \pi 2 -\arcsin x
  2. sin⁡arccos⁡x=cos⁡arcsin⁡x=1−x2\sin\arccos x=\cos\arcsin x=\sqrt{1-x^2}
  3. arctan⁡x=arcsin⁡x1+x2\arctan x= \arcsin\dfrac x {\sqrt{ 1+ x^2}} arccot⁡x=arccos⁡x1+x2\arccot x= \arccos\dfrac x {\sqrt{ 1+ x^2}}

Beweis

i. entnimmt man direkt der Definition als Umkehrfunktion.
ii. sin⁡arccos⁡x=sin⁡(π2−arcsin⁡x)\sin\arccos x=\sin(\dfrac \pi 2 -\arcsin x) (nach i.)
=sin⁡π2(cos⁡arcsin⁡x)−cos⁡π2(sin⁡arcsin⁡x)=\sin\dfrac \pi 2 (\cos\arcsin x) - \cos\dfrac \pi 2 (\sin\arcsin x) (Satz 5220A)
=cos⁡arcsin⁡x=\cos\arcsin x
Jetzt benutzen wir Satz 5220B und erhalten:
cos⁡arcsin⁡x=1−(sin⁡arcsin⁡x)2=1−x2\cos\arcsin x=\sqrt{1-(\sin\arcsin x)^2}=\sqrt{1-x^2}
iii. tan⁡arcsin⁡x1+x2\tan\arcsin \dfrac x {\sqrt{1+x^2}} =sin⁡arcsin⁡x1+x2cos⁡arcsin⁡x1+x2=\dfrac{\sin\arcsin \dfrac x{\sqrt{1+x^2}}}{\cos\arcsin \dfrac x {\sqrt{1+x^2}}}
=x1+x21−(x1+x2)2=\dfrac{\dfrac x {\sqrt{1+x^2}}}{\sqrt{1- {\braceNT{\dfrac x {\sqrt{1+x^2}}}}^2}} (mit ii.)
=x1+x21−x21+x2=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2} {\sqrt{1- {{\dfrac {x^2} {1+x^2}}}}}} =x1+x2−x2=x=\dfrac{x}{\sqrt{ 1+x^2 -x^2}}=x
Die Beziehung für Arkuskotangens ergibt sich analog. □\qed
 
 

Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch.

Rene Descartes

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