Arkussinus und Arkuskosinus

Arkussinus (geschrieben arcsin⁡\arcsin , asin\mathrm{asin} oder sin⁡−1\sin^{-1}) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Sinusfunktion. Arkuskosinus (geschrieben arccos⁡\arccos, acos\mathrm{acos} oder cos⁡−1\cos^{-1}) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Kosinusfunktion. Beide Funktionen gehören damit zur Klasse der Arkusfunktionen.

Definition

asinacos.png
Graphen der Arkussinus- und Arkuscosinusfunktion.
Die Sinusfunktion ist 2π2\pi-periodisch. Daher muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, damit sie umkehrbar-eindeutig wird. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert), die Umkehrfunktion der Einschränkung sin⁡∣[−π2,π2]\sin|_{\ntxbraceL{-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}}} betrachtet. In diesem Fall entsteht eine die bijektive Funktion mit
arcsin⁡ ⁣:[−1,1]→[−π2,π2]\arcsin\colon[-1,1]\to \ntxbraceL{-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} }.
Analog zum Arkussinus wird der Hauptwert des Arkuskosinus definiert als die Umkehrfunktion von cos⁡∣[0,π]\cos|_{[0,\pi]}. Diese Definition führt zur der bijektiven Funktion
arccos⁡ ⁣:[−1,1]→[0,π]\arccos\colon[-1,1]\to[0,\pi].

Umrechnung

arccos⁡x=π2−arcsin⁡x\arccos x = \dfrac{\pi}{2} - \arcsin x

Eigenschaften

Eigenschaft Arkussinus Arkuskosinus
Definitionsbereich −1≤x≤1-1 \le x \le 1 −1≤x≤1-1 \le x \le 1
Wertebereich −π2≤f(x)≤+π2-\dfrac{\pi}{2} \le f(x) \le + \dfrac{\pi}{2} 0≤f(x)≤π 0 \le f(x) \le \pi
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
Symmetrien Ungerade Funktion: arcsin⁡(−x)=−arcsin⁡(x)\arcsin(-x) = -\arcsin(x) Punktsymetrie zu (x=0 , y=π2)\braceNT{x=0 \, , \, y =\dfrac{\pi}{2}}
arccos⁡(x)=π−arccos⁡(−x)\arccos(x) = \pi - \arccos(-x)
Asymptoten f(x)→±π2f(x) \to\pm \dfrac{\pi}{2} für x→±1x \to\pm 1 f(x)→π2∓π2f(x) \to \dfrac{\pi}{2} \mp \dfrac{\pi}{2} für x→±1x \to\pm 1
Nullstellen x=0x = 0 x=1x = 1
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte x=0x = 0 x=0x = 0

Reihenentwicklung

Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Anwenden des binomischen Lehrsatzes auf die Ableitung, sie ist gegeben durch:
arcsin⁡(x)=∑k=0∞(−12k)(−1)kx2k+12k+1\arcsin(x) = \sum\limits\limits_{k=0}^\infty\chooseNT{-\frac{1}{2}}{ k}(-1)^k\dfrac{x^{2k+1}}{2k+1} =x+16x3+340x5 = x+\dfrac16 x^3 + \dfrac{3}{40} x^5+5112x7+351152x9⋯ +\dfrac{5}{112}x^7+\dfrac{35}{1152}x^9\cdots.
Die Taylorreihe des Arkuskosinus ist aufgrund der Beziehung arccos⁡x=π2−arcsin⁡x\arccos x = \dfrac{\pi}{2} - \arcsin x :
arccos⁡(x)=π2−∑k=0∞(−12k)(−1)kx2k+12k+1\arccos(x) = \dfrac{\pi}{2}-\sum\limits\limits_{k=0}^\infty\chooseNT{-\frac{1}{2}}{ k}(-1)^k\dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}

Umkehrfunktionen

Arkussinus: Sinusfunktion: x=sin⁡(y)x = \sin(y)
Arkuskosinus: Kosinusfunktion: x=cos⁡(y)x = \cos(y)

Ableitungen

Arkussinus:
ddxarcsin⁡(ax+b)=a1−(ax+b)2\dfrac{d}{dx} \arcsin(ax+b) = \dfrac{a}{\sqrt{1-(ax+b)^2}}
Mit a = 1 und b = 0:
ddxarcsin⁡(x)=11−x2\dfrac{d}{dx} \arcsin (x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Arkuskosinus:
ddxarccos⁡(ax+b)=−a1−(ax+b)2\dfrac{d}{dx} \arccos(ax+b) = - \dfrac{a}{\sqrt{1 - (ax+b)^2}}
Mit a = 1 und b = 0:
ddxarccos⁡(x)=−11−x2\dfrac{d}{dx} \arccos(x) = - \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Umrechnung:
ddxarccos⁡(x)=−ddxarcsin⁡(x)\dfrac{d}{dx} \arccos(x) = - \dfrac{d}{dx} \arcsin (x)

Integrale

Arkussinus:
∫arcsin⁡(xa)dx=x arcsin⁡(xa)+a2−x2\int\limits \arcsin\braceNT{\dfrac{x}{a}} dx = x \, \arcsin\braceNT{\dfrac{x}{a}} + \sqrt{a^2 - x^2 }
Arkuskosinus:
∫arccos⁡(xa) dx=x arccos⁡(xa)−a2−x2 \int\limits \arccos \braceNT{ \dfrac{x}{a} } \, dx= x \, \arccos \braceNT{ \dfrac{x}{a} } - \sqrt{ a^2 - x^2}
F(x)=x arccos⁡(x)−1−x2F(x) = x \, \arccos(x) - \sqrt {1-x^2}

Besondere Werte

xx arcsin⁡(x)\arcsin(x) arccos⁡(x)\arccos(x)
−1-1 −π2- \dfrac{\pi}{2} π\pi
−122- \dfrac{1}{2} \sqrt{2} −14π- \dfrac{1}{4} \pi 34π\dfrac{3}{4} \pi
00 00 12π \dfrac{1}{2} \pi
122\dfrac{1}{2} \sqrt{2} 14π\dfrac{1}{4} \pi 14π\dfrac{1}{4} \pi
11 π2\dfrac{\pi}{2} 00
 
 

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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