Polstellen

Eine einpunktige Definitionslücke einer Funktion wird als Polstelle (Pol) bezeichnet, wenn die Funktionswerte in jeder Umgebung des Punktes betragsmäßig beliebig groß werden. Eine Polstelle ist dadurch ausgezeichnet, dass sich die Punkte in einer Umgebung nicht chaotisch verhalten, sondern in einem gewissen Sinne gleichmäßig gegen unendlich streben.

Pole werden insbesondere bei rationalen Funktionen untersucht (siehe Polstellen rationaler Funktionen). Sollen auch Singularitäten von anderen Funktionen, etwa transzendenten Funktionen, wie zum Beispiel $f(x)= \dfrac 1{ \cos x}$ untersucht werden, ist es am zweckmäßigsten, die analytische Fortsetzung auf den komplexen Zahlen zu betrachten.

Die Ordnung einer Polstelle wird durch eine natürliche Zahl ausgedrückt und ist die Entsprechung zur Vielfachheit einer Nullstelle. Je höher die Ordnung ist, umso schneller streben die Funktionswerte betragsmäßig gegen unendlich. Zusätzlich wird zwischen gerader und ungerader Ordnung unterschieden. Jede Polstelle einer rationalen Funktion hat eine endliche, eindeutig bestimmte Ordnung. Ist $f== P(x)/Q(x)$ ein rationale Funktion, bei der die stetig behebbaren Definitionslücken herauskürzt wurden. Dann hat $f$ in $x_0$ genau dann eine Polstelle $k$-ter Ordnung, wenn $Q$ dort eine $k$-fache Nullstelle hat, oder anders formuliert, wenn $1/f$ in $x_0$ eine $k$-fache Nullstelle hat. Ebenso spricht man von einem Pol der Ordnung 0, wenn $f$ dort keine Polstelle hat.

Der Graph der Funktion verschwindet bei Annäherung an die Polstelle im Unendlichen und besitzt dort eine senkrechte Asymptote. Das genaue Verhalten wird durch die Ordnung der Polstelle festgelegt. Je höher die Ordnung ist, umso steiler erscheint der Graph.

Bei einer ungeraden Ordnung spricht man auch von einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel, der Graph springt aus dem positiven in den negativen Bildbereich oder umgekehrt.

Bei einem Pol gerader Ordnung liegt der Graph auf beiden Seiten der Polstelle im Bildbereich mit dem gleichen Vorzeichen. Man spricht dann auch von einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Die Funktion $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ hat einen Pol 2. Ordnung bei $x = 0$.

Die Funktion $f(x) = \dfrac{1}{(x-2)^3}$ hat einen Pol 3. Ordnung bei $x = 2$.

Die Funktion $f(x) = \dfrac{x+2}{x^3+x^2-x-1} = \dfrac{(x+2)}{(x+1)^2(x-1)}$ hat für $x = -1$ eine Polstelle der Ordnung 2 und für $x = 1$ eine Polstelle 1. Ordnung.

Die Funktion $f(x) = \dfrac{x^2+3x+2}{x^3+x^2-x-1} = \dfrac{(x+2)(x+1)}{(x+1)^2(x-1)}$ hat für $x = -1$ und $x = 1$ Polstellen der Ordnung 1.