Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen

Aus der Eulerschen Formel können wir eine allgemeine Formel für die Potenzierung von komplexen Zahlen ableiten, die Moivresche Formel oder Formel von Moivre:
zr=zreri(φ+2kπ)z^r=|z|^r\e^{r\i(\phi+2k\pi)}
Hierbei ist rRr\in\dom R eine beliebige reelle Zahl und φ=arg(z)\phi=\arg(z) das Argument. Wenn rr nicht ganzzahlig ist, ist die Potenz oder Wurzel nicht eindeutig, daher das 2kπ2k\pi Glied. Die Lösung mit dem kleinsten positiven φ\phi wird Hauptwert genannt.
(Für einen strengen Existenzbeweis siehe Satz A4KD)
 
 

Beispiel

83=(4)13\sqrtN 3 {-8}={(-4)}^{\frac 1 3}
=813e13i(π+2kπ)=|-8|^{\frac 1 3}\e^{\frac 1 3 \, \i(\pi+2k\pi)} (Das Argument für eine negative Zahl ist π\pi)
=83ei(π3+2kπ3)=\sqrtN 3 8 \e^{\i \cdot \braceNT{\frac \pi 3 + \frac {2k\pi} 3}}
=2(cos(π3+2kπ3)+isin(π3+2kπ3))=2 \braceNT{\cos\braceNT{\dfrac \pi 3 + \dfrac {2k\pi} 3} +\i\sin\braceNT{\dfrac \pi 3 + \dfrac {2k\pi} 3}} (mit der Eulerschen Formel)
Neben dem Hauptwert mit dem Argument π3\dfrac \pi 3 gibt es weitere Lösungen für die beiden Argumente π\pi und 53π\dfrac 5 3 \pi. Die dazugehörigen Lösungen sind:
2(cos(π3)+isin(π3))=1+3i2\braceNT{\cos\braceNT{\dfrac \pi 3}+\i \sin \braceNT{\dfrac \pi 3}}=1+ \sqrt 3 \i
2(cosπ+isinπ)=22(\cos \pi +\i\sin \pi)=-2
2(cos(53π)+isin(53π))=13i2\braceNT{\cos\braceNT{\dfrac 5 3 \pi}+\i \sin \braceNT{\dfrac 5 3 \pi}}=1- \sqrt 3 \i

Quadratwurzeln

Für eine komplexe Zahl zz sind die beiden Lösungen von z\sqrt{z} ununterscheidbar. Es gibt also nicht wie im Reellen eine positive Wurzel, die man im Allgemeinen mit der Wurzel identifiziert.
Sei z=x+iyz=x+\i y, dann ergibt sich für die beiden Wurzeln im Komplexen die folgende Zerlegung in Realteil und Imaginärteil:
(1)
z=x+iy=±(z+x2+isgn(y)zx2)\sqrt{z} = \sqrt{x+\i y} = \pm \braceNT{ \sqrt{\dfrac{|z| + x}{2}} + \i \cdot \mathrm{sgn}(y) \cdot \sqrt{\dfrac{|z| - x}{2}} }
Dabei steht sgn(y)\sgn(y) für das Vorzeichen von yy.

Herleitung

Sei w=u+ivw=u+\i v und w2=zw^2=z. Also u2v2+2uvi=x+iyu^2-v^2+2uv\i=x+\i y, was die beiden Gleichungen
x=u2v2x=u^2-v^2
y=2uvy=2uv
ergibt. Dieses Gleichungssystem muss nach u,vu,v aufgelöst werden.
Es ist z=w2|z|=|w^2| =w2=u2+v2=|w|^2=u^2+v^2, also z+x=u2+v2+u2v2=2u2|z|+x=u^2+v^2+u^2-v^2=2u^2 und zx=u2+v2(u2v2)=2v2|z|-x=u^2+v^2-(u^2-v^2)=2v^2, womit sich u=±z+x2u=\pm\sqrt{\dfrac{|z| + x}{2}} und v=±zx2v=\pm\sqrt{\dfrac{|z| - x}{2}} . Die Probe für xx ergibt x=u2v2x=u^2-v^2 =z+x2zx2=x=\dfrac{|z| + x}{2}-\dfrac{|z| - x}{2}=x und für yy erhält man y=2uvy=2uv =2z+x2zx2=2\cdot \sqrt{\dfrac{|z| + x}{2}}\, \cdot\sqrt{\dfrac{|z| - x}{2}} =(z+x)(zx)=\sqrt{(|z| + x)(|z| - x)} =z2x2=y2=\sqrt{|z|^2-x^2}=\sqrt{y^2}. Diese Gleichung gilt genau dann, wenn das Vorzeichen der Wurzel mit dem Vorzeichen von yy übereinstimmt. Daher kommt der sgn\sgn-Term in Formel (1).
Ist zz in trigonometrischer Darstellung gegeben, dann ergibt sich nach Anwendung der Moivreschen Formel für die Quadratwurzel die Darstellung
(2)
z=zei(arg(z)+n2π)=zei(arg(z)/2+nπ) \sqrt{z} = \sqrt{|z| \e^{\i\left(\arg(z)+n\cdot 2\pi\right)}} = \sqrt{|z|} \e^{\i\left( \arg(z)/2+n\cdot \pi\right)},
wobei nn die Werte 00 oder 11 annehmen kann.
An Darstellung (2) können wir ablesen, dass der Betrag der Wurzel der Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl entspricht. Das Argument wird halbiert und die andere Lösungen ergibt sich geometrisch in der Gaußschen Zahlenebene durch Spiegelung am Ursprung. Wie im Reellen ist mit ww auch w-w Lösung von z\sqrt z.

Beispiel

Quadratwurzeln aus z=1+i3z = -1+\i\sqrt{3}
WurzelBsp.png
z=1+i3|z| = |-1+\i\sqrt{3}| =(1)2+(3)2= \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} =1+3=4=2 = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2
Anwenden von Formel (1): w1=212+i2+12w_1 = \sqrt{\dfrac{2-1} 2}+\i \sqrt{\dfrac{2+1} 2} =12+i32=\sqrt{\dfrac{1} 2}+\i \sqrt{\dfrac{3} 2} =122(1+i3)=\dfrac 1 2\sqrt 2 (1+\i\sqrt 3 ).
Die zweite Wurzel erhält man durch Vorzeichenumkehr:
w2=w1=122(1i3)w_2 = -w_1 = \dfrac 1 2\sqrt{2} \cdot \braceNT{ -1 - \i \cdot \sqrt{3} }.

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

Galileo Galilei

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