Eulersche Formel

Im Komplexen sind die trigonometrischen Funktionen mit der Exponentialfunktion mittels der Eulerschen Formel (andere Bezeichnung Eulersche Identität) verknüpft:
e⁡i⁡φ=cos⁡φ+i⁡sin⁡φ\e^{\i\phi} =\cos \phi+\i\sin\phi.(1)
Die Formel kann aus den Potenzreihenentwicklungen der beteiligten Funktionen abgeleitet werden oder mit einfachen analytischen Mitteln bewiesen werden (siehe unten).
Aus der trigonometrischen Darstellung kann man sofort die Exponentialdarstellung einer komplexen Zahl ableiten:
z=∣z∣(cos⁡φ+i⁡sin⁡φ)=∣z∣e⁡i⁡φz=|z|(\cos\phi +\i\sin\phi)=|z|\e^{\i\phi}
Die Beträge der Zahlen e⁡i⁡φ\e^{\i\phi} sind stets 11, damit liegen alle Zahlen dieser Art auf einem Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene.
Wenn man in (1) φ\phi gegen −φ-\phi ersetzt, erhält man
e⁡−i⁡φ=cos⁡φ−i⁡sin⁡φ\e^{\uminus\i\phi} =\cos \phi-\i\sin\phi,(2)
weil der Sinus eine ungerade Funktion ist und Kosinus eine gerade Funktion ist.
Addiert bzw. Subtrahiert man die Gleichungen (1) und (2) ergibt sich eine Darstellung für den Sinus und Kosinus ausgedrückt durch Exponentialfunktionen:
cos⁡φ=12(e⁡i⁡φ+e⁡−i⁡φ)\cos\phi=\dfrac 1 2 (\e^{\i\phi} +\e^{\uminus\i\phi} ) sin⁡φ=12i⁡(e⁡i⁡φ−e⁡−i⁡φ)\sin\phi=\dfrac 1 {2\i} (\e^{\i\phi} -\e^{\uminus\i\phi} )
 
 

Beweis

Wir betrachten die Funktion
f(x)=cos⁡x+i⋅sin⁡xeix f(x)=\dfrac{\cos x+\mathrm i\cdot\sin x}{\mathrm e^{\mathrm ix}}\,
Die eulersche Formel (1) besagt gerade, dass f(x)=1f(x)=1 für alle xx.
Der Nenner eix\mathrm e^{\mathrm ix} ist nie null, denn es gilt eix⋅e−ix=e0=1\mathrm e^{\mathrm ix}\cdot\mathrm e^{-\mathrm ix}=\mathrm e^0=1 und da C\C als Körper nullteilerfrei ist, müssen beide Faktoren verschieden von 00 sein.
Wir zeigen nun: f ′(x)=0f\, '(x)=0 für alle xx.
Die Ableitung des Zählers ist −sin⁡x+i⋅cos⁡x,-\sin x+\mathrm i\cdot\cos x, und die des Nenners i⋅eix\mathrm i\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}.
Damit ergibt sich nach der Quotientenregel
f′(x)=(−sin⁡x+i⋅cos⁡x)⋅eix−(cos⁡x+i⋅sin⁡x)⋅i⋅eix(eix)2f'(x)=\dfrac{(-\sin x+\mathrm i\cdot\cos x)\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}-(\cos x+\mathrm i\cdot\sin x)\cdot\mathrm i\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}}{(\mathrm e^{\mathrm ix})^2} =(−sin⁡x+i⋅cos⁡x)⋅eix−(i⋅cos⁡x−sin⁡x)⋅eix(eix)2=0 =\dfrac{(-\sin x+\mathrm i\cdot\cos x)\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}-(\mathrm i\cdot\cos x-\sin x)\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}}{(\mathrm e^{\mathrm ix})^2}=0\,
Da die Ableitung überall null ist, ist ff konstant. Da f(0)=cos⁡0+i⋅sin⁡0ei⋅0=1f(0)=\dfrac{\cos 0+\mathrm i\cdot\sin 0}{\mathrm e^{\mathrm i\cdot0}}=1 gilt, ist ff konstant gleich 11. □\qed

Beispiele

e⁡i⁡π=cos⁡π+i⁡sin⁡π=−1\e^{\i\pi}=\cos \pi+ \i\sin \pi=-1
sin⁡i⁡=12i⁡(e⁡i⁡⋅i⁡−e⁡−i⁡⋅i⁡)=12i⁡(1e⁡−e⁡)\sin \i=\dfrac 1 {2\i} (\e^{\i\cdot\i} -\e^{\uminus\i\cdot\i} ) =\dfrac 1 {2\i} \braceNT{\dfrac 1 \e-\e }

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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