Riemannsche Zahlenkugel

Wir definieren
C∗=C∪{∞}\C*=\C\cup\{\infty\}
als erweiterte komplexe Ebene.
Für z∈C∗z\in\C* sollen die komplexen Rechenoperation dabei wie folgt auf C∗\C* definiert sein:
z±∞=∞±z=∞z\pm\infty=\infty\pm z=\infty,
und für z≠0z\neq 0
z⋅∞=∞⋅z=∞z\cdot\infty=\infty\cdot z=\infty, z∞=0\dfrac z \infty=0 und z0=∞\dfrac z 0=\infty.
Ausdrücke wie ∞±∞\infty \pm \infty und 0⋅∞0\cdot \infty sind dabei nicht definiert. [img:RieKug.png|Stereographische Projektion] Wir können C∗C* auf der Riemannsche Zahlenkugel wie folgt darstellen. Sei
S2={(x1,x2,x3)∈R3∣x12+x22+x32=1}S^2=\{(x_1,x_2,x_3)\in\R^3| x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\}
die Einheitssphäre,
φ:S2→C∗\phi: S^2 \rightarrow \C* mit (0,0,1)↦∞(0,0,1)\mapsto \infty und (x1,x2,x3)↦z=xi+i⁡x21−x3(x_1,x_2,x_3)\mapsto {z=\dfrac {x_i+\i x_2}{1-x_3} } sonst.
Man bezeichnet φ\phi als stereographische Projektion deren Umkehrung man durch
φ−1(z)=(2ℜz∣z∣2+1,2ℑz∣z∣2+1,∣z∣2−1∣z∣2+1)\phi^\me(z)=\left(\dfrac {2\Re z}{|z|^2+1},\dfrac {2\Im z}{|z|^2+1},\dfrac {|z|^2-1}{|z|^2+1}\right)
erhält.
Da jedem Punkt P≠(0,0,1)P\neq (0,0,1) der Einheitssphäre eineindeutig ein z∈Cz\in\C zugeordnet werden kann, nämlich der Schnittpunkt der komplexen Ebene C\C mit der Geraden durch NN und PP handelt es sich bei φ\phi um eine Bijektion.
 
 

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Funktionentheorie