Rechenbeispiele zu komplexen Zahlen

Mit der imaginären Einheit können wir die Multiplikation zweier komplexer Zahlen als
z1⋅z2=(x1+i⁡y1)(x2+i⁡y2)=(x1x2−y1y2)+(x1y2+x2y1)i⁡z_1\cdot z_2=(x_1+\i y_1)(x_2+\i y_2)=(x_1x_2-y_1y_2)+ (x_1y_2+x_2y_1)\i
schreiben.
Damit können wir wie mit den reellen Zahlen rechnen, wobei wir die Klammern ausdistributieren und die Regel i⁡2=−1\i^2=-1 anwenden.

Division komplexer Zahlen

Für eine komplexe Zahl z=x+i⁡yz=x+\i y, z≠0z\neq 0 gilt: 1z=xx2+y2+i⁡−yx2+y2\dfrac 1 z = \dfrac x {x^2+y^2} +\i \dfrac {\uminus y} {x^2+y^2}
Es ist nämlich: (x+i⁡y)⋅(xx2+y2+i⁡−yx2+y2)(x+\i y)\cdot \braceNT{ \dfrac x {x^2+y^2} +\i \dfrac {\uminus y} {x^2+y^2}} =x2x2+y2−i⁡xyx2+y2+i⁡xyx2+y2+y2x2+y2=1=\dfrac {x^2} {x^2+y^2}-\dfrac {\i xy} {x^2+y^2}+\dfrac {\i xy} {x^2+y^2}+\dfrac {y^2} {x^2+y^2}=1
Praktischerweise führt man die Division zweier komplexer Zahlen so durch, dass man Zähler und Nenner mit der zum Nenner konjugiert komplexen Zahl multipliziert.
 
 

Beispiele

(1+i⁡)(2−3i⁡)=2−3i⁡2−3i⁡+2i⁡=2+3−i⁡=5−i⁡(1+\i)(2-3\i)=2-3\i^2-3\i+2\i=2+3-\i=5-\i
1i⁡=i⁡i⁡⋅i⁡=−i⁡\dfrac 1 \i=\dfrac \i {\i\cdot\i}=\uminus\i
2+i⁡1−i⁡=(2+i⁡)(1+i⁡)(1−i⁡)(1+i⁡)=2+2i⁡+i⁡+i⁡21+1=1+3i⁡2\dfrac{2+\i}{1-\i}=\dfrac{(2+\i)(1+\i)}{(1-\i)(1+\i)}=\dfrac{2+2\i+\i+\i^2}{1+1}=\dfrac {1+3\i} 2

Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.

Paul Erdös

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