Existenzsatz für Wurzeln

Eine starke Motivation zur Einführung der komplexen Zahlen bestand darin, dass in den reellen Zahlen das Ziehen von Wurzeln aus negativen Zahlen nicht möglich ist. Der folgende Satz stellt sicher, dass diese Wurzeln aus komplexen Zahlen gezogen werden können.

Sei $w=a+b\i$ eine komplexe Zahl und $k\in\N$ mit $k>=2$. Dann gibt es ein $v\in\C$ mit $v^k=w$.

OBdA können wir $w\neq 0$, also $a,b\neq 0$ annehmen. Wir zeigen die Behauptung lediglich für $k=2$ und $k$ ungerade. Denn andernfalls können wir $k=2^ml$ mit $l$ ungerade setzen und die Behauptung wird zu $w=v^k=v^{2^ml}$ $=\left(v^{2^m}\right)^l$, da $l$ ungerade war finden wir ein $v_1$ mit $w=v_1^l$. Wegen $v_1=v^{2^m}=\left(v^{2^{m-1}}\right)^2$ können wir dann den Satz für $k=2$ anwenden und so weiter bis wir schließlich $v$ bestimmen können.

Sei nun also $k=2$ oder $k$ ungerade. Wir definieren für $t\in\R$ die folgenden reellen Funktionen: $r(t)=\Re(t+i)^k$ und $j(t)=\Im(t+i)^k$. Wir finden ein $t\in\R$ mit Für $k$ ungerade führt (1) auf ein Polynom ungeraden Grades ($r(t)$ ist vom Grad $k$ und $j(t)$ vom Grad $k-1$ ), dass immer eine reelle Nullstelle besitzt. Für $k=2$ ergibt sich aus $(t+i)^2=t^2-1+2ti$ die Gleichung $b(t^2-1)=a\cdot 2t$, welche auf $t^2-\dfrac {2a} b t -1=0$ führt, die die beiden reellen Lösungen $t_{1,2}=\dfrac a b \pm \sqrt {\dfrac{a^2}{b^2}+1}$ führt. Wir setzen $s=\dfrac 1 a r(t)$. Dann muss $s\neq 0$ gelten, denn andernfalls wäre $r(t)=j(t)=0$, also $(t+i)^k=0$ , Widerspruch. Nun finden wir ein $y\in\R$ mit $y^k=\dfrac 1 s$. Für ungerades $k$ ist dies sofort ersichtlich, falls $k=2$ findet man stets ein $t$ für das $s>0$. Setzen wir nun $x=ty$ dann ergibt sich aus $v=x+iy$: $v^k=(x+iy)^k$ $=y^k(t+i)^k=y^k(r(t)+i\cdot j(t))$ $=y^k(as+i\cdot \dfrac b a r(t))$ $=y^k(as+i\cdot bs)$ $=y^k(a+i\cdot b)s$ $=a+bi=w$. $\qed$