Partitionen

Eine Partition (Zerlegung oder Klasseneinteilung) einer Menge \(\displaystyle M\) ist ein Mengensystem \(\displaystyle P\), deren Elemente nichtleere Teilmengen von \(\displaystyle M\) sind, sodass jedes Element von \(\displaystyle M\) in genau einem Element von \(\displaystyle P\) enthalten ist.

Beispiele

Das Mengensystem (= die Mengenfamilie) \(\displaystyle P = \left\{\left\{3,5\right\},\left\{2,4,6\right\},\left\{7,8,9\right\}\right\}\) ist eine Partition der Menge \(\displaystyle M=\left\{2,3,4,5,6,7,8,9\right\}\). Die Elemente von \(\displaystyle P\) sind dabei paarweise disjunkte Teilmengen von \(\displaystyle M\). \(\displaystyle P\) ist jedoch keine Partition der Menge \(\displaystyle N=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}\), weil \(\displaystyle 1\) zwar in \(\displaystyle N\), aber in keinem Element von \(\displaystyle P\) enthalten ist.
Die Mengenfamilie \(\displaystyle \left\{\left\{1,2\right\},\left\{2,3\right\}\right\}\) ist keine Partition irgendeiner Menge, weil \(\displaystyle \left\{1,2\right\}\) und \(\displaystyle \left\{2,3\right\}\) mit \(\displaystyle 2\) ein gemeinsames Element enthalten, also nicht disjunkt sind.
Die Menge \(\displaystyle \left\{1, 2, 3\right\}\) hat genau 5 Partitionen:
  • \(\displaystyle \left\{\left\{1, 2, 3\right\}\right\}\)
  • \(\displaystyle \left\{\left\{1\right\}, \left\{2, 3\right\}\right\}\)
  • \(\displaystyle \left\{\left\{2\right\}, \left\{3, 1\right\}\right\}\)
  • \(\displaystyle \left\{\left\{3\right\}, \left\{1, 2\right\}\right\}\)
  • \(\displaystyle \left\{\left\{1\right\}, \left\{2\right\}, \left\{3\right\}\right\}\)
Die einzige Partition der leeren Menge ist die leere Menge.
Jede einelementige Menge \(\displaystyle \left\{x\right\}\) hat genau eine Partition, nämlich \(\displaystyle \left\{\left\{x\right\}\right\}\).
Jede nichtleere Menge \(\displaystyle M\) hat genau eine einelementige Partition \(\displaystyle \left\{M\right\}\), die sogenannte "triviale Partition".
 
 

Anzahl der Partitionen einer endlichen Menge

Die Anzahl \(\displaystyle B_n\) der Partitionen einer \(\displaystyle n\)-elementigen Menge nennt man Bellsche Zahl[1]. Die ersten Bellzahlen sind:
\(\displaystyle B_0 = 1, \quad B_1 = 1, \quad B_2 = 2, \quad B_3 = 5, \quad B_4 = 15, \quad B_5 = 52, \quad B_6 = 203, \quad\ldots\)

Partitionen und Äquivalenzrelationen

Ist eine Äquivalenzrelation ~ auf der Menge \(\displaystyle M\) gegeben, dann bildet die Menge der Äquivalenzklassen eine Partition von \(\displaystyle M,\) die auch "Faktormenge" \(\displaystyle M/{\sim}\) von ~ auf \(\displaystyle M\) genannt wird.
Ist umgekehrt eine Partition \(\displaystyle P\) von \(\displaystyle M\) gegeben, dann wird durch
\(\displaystyle x \sim_P y\ :\Leftrightarrow\ \exists A \in P{:}\ {x\in A, y\in A}\)
eine Äquivalenzrelation \(\displaystyle \sim_P\) definiert.In der Gleichheit \(\displaystyle {P} = {M/{\sim_P}}\) der Partitionen und der Gleichheit \(\displaystyle {\sim_{(M/{\sim})}} = {\sim}\) der Relationen manifestiert sich eine Gleichwertigkeit von Äquivalenzrelationen und Partitionen (siehe Satz NZ38).

Beispiel

Für eine feste natürliche Zahl \(\displaystyle m\) heißen ganze Zahlen \(\displaystyle x,y\) kongruent modulo \(\displaystyle m,\) wenn ihre Differenz \(\displaystyle x-y\) durch \(\displaystyle m\) teilbar ist. Kongruenz ist eine Äquivalenzrelation und wird mit \(\displaystyle {\equiv}\) bezeichnet. Die zugehörige Partition der Menge der ganzen Zahlen ist die Zerlegung in die Restklassen modulo \(\displaystyle m\). Sie lässt sich darstellen als
\(\displaystyle \mathbb Z/{\equiv}=\{ [0]_\equiv , [1]_\equiv , \ldots , [m - 1]_\equiv \},\)
wobei
\(\displaystyle [k]_\equiv = \{\ldots,k-2m,k-m,k,k+m,k+2m,\ldots\}\)
die Restklasse bezeichnet, die \(\displaystyle k\) enthält. (Man beachte, dass diese Notation für Restklassen nicht allgemein üblich ist. Sie wurde nur gewählt, um die obige allgemeine Konstruktion zu illustrieren.)

Der Verband der Partitionen

Sind \(\displaystyle P\) und \(\displaystyle Q\) zwei Partitionen einer Menge \(\displaystyle M\), dann nennen wir \(\displaystyle P\) "feiner als" \(\displaystyle Q\), falls jedes Element von \(\displaystyle P\) Teilmenge eines Elements von \(\displaystyle Q\) ist. Anschaulich heißt das, dass jedes Element von \(\displaystyle Q\) selbst durch Elemente von \(\displaystyle P\) partitioniert wird.
Die Relation "feiner als" ist eine Halbordnung auf dem System aller Partitionen von \(\displaystyle M\), und dieses System wird dadurch sogar zu einem vollständigen Verband. Gemäß der oben erwähnten Gleichwertigkeit von Äquivalenzrelationen und Partitionen ist er isomorph zum Äquivalenzrelationenverband auf \(\displaystyle M\).
 
1   Eric Temple Bell, 1883-1960, schottisch-amerikanischer Mathematiker

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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