Kongruenzen

In der Zahlentheorie heißen zwei ganze Zahlen \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) kongruent modulo \(\displaystyle m\) mit einer natürlichen Zahl \(\displaystyle m\), falls die Differenz \(\displaystyle (a-b)\) ein ganzes Vielfaches von \(\displaystyle m\) ist. Verschiedene Zahlen, die kongruent modulo \(\displaystyle m\) sind, können daher durch "Verschiebung" um ein Vielfaches der Zahl \(\displaystyle m\) zur Deckung gebracht werden.

Notationen in der Zahlentheorie

Häufig werden für die Aussage „\(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) sind kongruent modulo \(\displaystyle m\)“ die folgenden Schreibweisen benutzt:
\(\displaystyle a \equiv b \mod m\).
Sind zwei Zahlen kongruent modulo einer Zahl \(\displaystyle m\), ergibt sich bei der Division durch \(\displaystyle m\) derselbe Rest.
 
 

Beispiele

  • \(\displaystyle 3 \equiv 24 \mod 7\), denn 7 teilt -21 (\(\displaystyle = 3 - 24\))
  • \(\displaystyle -31 \equiv 11 \mod 7\), denn 7 teilt -42 (\(\displaystyle = -31 - 11\))
  • \(\displaystyle -15 \equiv -64 \mod 7\), denn 7 teilt 49 (\(\displaystyle =-15 - (-64)\))

Restklassen

Man bezeichnet die Menge aller zu \(\displaystyle a\) (modulo \(\displaystyle m\)) kongruenten ganzen Zahlen als die Restklasse von \(\displaystyle a\) modulo \(\displaystyle m\):
\(\displaystyle \bar{a} := \{ x \in \mathbb{Z} : a \equiv x \mod{m}\}\)
Es gibt daher genau \(\displaystyle m\) Restklassen (\(\displaystyle \bar{0}, \bar{1}, \dots \overline{m-1}\)) modulo \(\displaystyle m\).
Beispiel:
Modulo 2 sind die beiden Restklassen die Menge der geraden Zahlen (\(\displaystyle \bar{0}\)) und die Menge der ungeraden Zahlen (\(\displaystyle \bar{1}\)).
Die Restklassen modulo \(\displaystyle m\) bilden einen Ring, den sog. Restklassenring. Ist \(\displaystyle m\) eine Primzahl, so bilden sie einen Körper.
Die Theorie der Kongruenzen wurde von Carl Friedrich Gauß im Jahre 1801 in seinem Werk Disquisitiones Arithmeticae begründet.

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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