Kongruenzen

In der Zahlentheorie heißen zwei ganze Zahlen aa und bb kongruent modulo mm mit einer natürlichen Zahl mm, falls die Differenz (a−b)(a-b) ein ganzes Vielfaches von mm ist. Verschiedene Zahlen, die kongruent modulo mm sind, können daher durch "Verschiebung" um ein Vielfaches der Zahl mm zur Deckung gebracht werden.

Notationen in der Zahlentheorie

Häufig werden für die Aussage „aa und bb sind kongruent modulo mm“ die folgenden Schreibweisen benutzt:
a≡bmod  ma \equiv b \mod m.
Sind zwei Zahlen kongruent modulo einer Zahl mm, ergibt sich bei der Division durch mm derselbe Rest.

Beispiele

  • 3≡24mod  73 \equiv 24 \mod 7, denn 7 teilt -21 (=3−24= 3 - 24)
  • −31≡11mod  7-31 \equiv 11 \mod 7, denn 7 teilt -42 (=−31−11= -31 - 11)
  • −15≡−64mod  7-15 \equiv -64 \mod 7, denn 7 teilt 49 (=−15−(−64)=-15 - (-64))

Restklassen

Man bezeichnet die Menge aller zu aa (modulo mm) kongruenten ganzen Zahlen als die Restklasse von aa modulo mm:
aˉ:={x∈Z:a≡xmod  m}\bar{a} := \{ x \in \mathbb{Z} : a \equiv x \mod{m}\}
Es gibt daher genau mm Restklassen (0ˉ,1ˉ,…m−1‾\bar{0}, \bar{1}, \dots \overline{m-1}) modulo mm.
Beispiel:
Modulo 2 sind die beiden Restklassen die Menge der geraden Zahlen (0ˉ\bar{0}) und die Menge der ungeraden Zahlen (1ˉ\bar{1}).
Die Restklassen modulo mm bilden einen Ring, den sog. Restklassenring. Ist mm eine Primzahl, so bilden sie einen Körper.
Die Theorie der Kongruenzen wurde von Carl Friedrich Gauß im Jahre 1801 in seinem Werk Disquisitiones Arithmeticae begründet.
 
 

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

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