Veranschaulichung der Kongruenzen am Ziffernblatt der Uhr

Veranschaulichen kann man das Rechnen mit Restklassen anhand des Ziffernblattes einer Analoguhr. Die Stunden sind von 1 bis 12 nummeriert, wobei Stunde 12 als Stunde 0 betrachtet wird.

Beginnt man bei Stunde 0 und addiert jeweils eine Stunde, erhält man der Reihe nach jede der 12 Stunden des Ziffernblattes.

Man addiert zwei beliebige Stunden miteinander, indem man bei der ersten angegebenen Stunde beginnt und im Uhrzeigersinn die zweite Stundenangabe abzählt: Um $4 + 5$ zu ermitteln, beginnt man bei Stunde 4 und zählt 5 Stunden weiter, man landet bei Stunde 9. Berechnet man nun $9 + 5$, zählt also von Stunde 9 aus 5 Stunden weiter, landet man bei Stunde 2, es ist also $9 + 5 = 2$ in diesem System. Wie kommt dieses Ergebnis zustande? Addiert man einfach die Stundenwerte, erhält man 14; und "14 Uhr" stimmt auf dem zwölfstündigen Ziffernblatt mit "2 Uhr" überein, also ist hier $14 = 2$. Das Ergebnis einer Addition ist also die normale Summe, eventuell abzüglich einer 12. Dies entspricht dem Rest bei Division durch 12. Diese Art der Addition heißt "Addition modulo 12".

Man erkennt hier, dass die Addition der 12 eine Zahl nicht verändert, $12 + x = x$ für jede Stunde $x$. Das erklärt, warum die 12. Stunde hier als Stunde 0 bezeichnet wird.

Die Multiplikation wird auf die Addition zurückgeführt: Um z. B. $4 \cdot 3$ zu bestimmen, bildet man die Summe $3 + 3 + 3 + 3$, und landet bei der 12. Stunde. Das Produkt $4 \cdot 4$ liefert "16 Uhr", und das ist identisch mit "4 Uhr"; modulo 12 ist also $4 \cdot 4 = 4$.

Die 12 Stundenwerte, zusammen mit den Regeln für Addition und Multiplikation, schreibt man als $(\mathbb{Z} / 12\mathbb{Z}, +, \cdot)$.

Was für 12 geht, funktioniert auch für jede andere natürliche Zahl $n$. In $\mathbb{Z} / 4\mathbb{Z} = \{0, 1, 2, 3\}$ ist 1 = 1, 2 = 1 + 1, 3 = 1 + 1 + 1, 0 = 1 + 1 + 1 + 1.