Goodstein-Folgen und der Satz von Goodstein

Goodstein-Folgen sind spezielle Folgen natürlicher Zahlen. Sie spielen eine Rolle in einem mathematischen Satz, dem Satz von Goodstein. Das Besondere an diesem Satz ist, dass er sich zwar mit den Mitteln der Peano-Arithmetik formulieren, aber nicht ausschließlich mit ihnen beweisen lässt. Dies liegt daran, dass die Peano-Arithmetik die natürlichen Zahlen nicht eindeutig modelliert, d.h., sie erlaubt auch andere Modelle als die natürlichen Zahlen, in denen der Satz von Goodstein nicht gilt. Dieser Satz ist ein Beispiel dafür, dass nicht jede unbeweisbare Aussage so kompliziert und "unvorstellbar" sein muss wie die unbeweisbaren Aussagen im gödelschen Unvollständigkeitssatz.

Definition der Goodstein-Folgen

Jede natürliche Zahl nn kann wie folgt zu einer gegebenen Basis bb entwickelt werden:
n=ambm+⋯+a2b2+a1b1+a0b0=∑k=0makbkn=a_m b^m + \cdots + a_2 b^2 + a_1 b^1 + a_0 b^0 = \sum\limits_{k=0}^{m}a_k b^k
wobei die aka_k Koeffizienten sind, die zwischen 0 und b−1 b -1 liegen (siehe Stellenwertsystem).
Zum Beispiel ist "35" die Darstellung einer natürlichen Zahl im Dezimalsystem:
35=3⋅101+5⋅100=30+535 = 3 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0 = 30 + 5
Zur Basis 2 lautet die Darstellung
35=1⋅25+1⋅21+1⋅20=32+2+135 = 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 32 + 2 + 1
Diese Darstellung zur Basis bb wird nun auf die Exponenten angewendet, und dann auf die Exponenten der Exponenten, solange bis keine Zahl oberhalb der Basis mehr auftritt. Diese Darstellung nennt man die iterierte Darstellung zur Basis bb (engl. hereditary base bb representation). Für die Zahl 35 ergibt sich diese Darstellung:
35=2(22+1)+21+2035 = 2^{(2^2 + 1)} + 2^1 + 2^0
Mit dieser iterierten Darstellung wird die Goodsteinsche Operation "aufblähen" (engl. "bump the base") definiert. Diese ersetzt überall dort, wo in der iterierten Darstellung einer Zahl die Basis bb steht, diese durch (b+1)(b+1). Diese Abbildung, die die Zahl nn zur Basis bb iteriert darstellt und dann aufbläht, wird hier als
ab(n):N→Na_b(n): \mathbb{N} \to \mathbb{N}
geschrieben (es gibt in der Literatur viele verschiedene Schreibweisen dafür).
a2(35)=a2(222+1+21+20)  a_2(35) = a_2(2^{2^2 + 1} + 2^1 + 2^0)\;
=333+1+31+30=22 876 792 454 965  = 3^{3^3 + 1} + 3^1 + 3^0 = 22\, 876\, 792\, 454\, 965\;
Ist nun nn eine natürliche Zahl, dann wird die Goodstein-Folge mit Startwert nn
(gb(n))b∈N  (g_b(n))_{b \in \mathbb{N}}\;
unter Verwendung dieser Abbildung aba_b so definiert:
g1(n):=n  g_1(n) := n \;
gb(n):={ab(gb−1(n))−1 b>1, gb−1(n)>00 b>1, gb−1(n)=0g_b(n) := \begin{cases} a_b(g_{b-1}(n)) - 1 & \ b\gt 1,\ g_{b-1}(n) \gt 0\\ 0 & \ b\gt 1,\ g_{b-1}(n)=0 \end{cases}
Das zweite Folgenglied wird also berechnet, indem man nn zur Basis b=2b=2 iteriert darstellt,dann aufbläht und von der aufgeblähten Zahl 1 abzieht.

Literatur

  • R. Goodstein: On the restricted ordinal theorem. In: Journal of Symbolic Logic. Band 9, 1944, Seiten 33-41.
  • Laurie Kirby, Jeff Paris: Accessible independence results for Peano arithmetic. In: Bulletin of the London Math. Soc. Band 14, 1982, Seiten 285-293.
  • Dehornoy: Braucht die Arithmetik das Unendliche? In: Spektrum Sonderheft Das Unendliche.
 
 

Wir Mathematiker sind die wahren Dichter, nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.

Leopold Kronecker

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