Dezimalsystem

Das Dezimalsystem oder Zehnersystem (lat. decimus = der Zehnte) ist ein Stellenwertsystem zur Darstellung von Zahlen. Es verwendet die Grundzahl (oder Basis) 10. Das Dezimalsystem ist heute das weltweit verbreiteteste Zahlensystem, und stammt ursprünglich aus Indien.

Ziffern

Im Dezimalsystem verwendet man die 10 Ziffern 0 (Null), 1 (Eins), 2 (Zwei), 3 (Drei), 4 (Vier), 5 (Fünf), 6 (Sechs), 7 (Sieben), 8 (Acht), 9 (Neun).
Diese Ziffern werden jedoch in verschiedenen Teilen der Welt anders geschrieben.

Definition

Eine Dezimalzahl wird in der Form
±zmzm−1…z0,⁡z−1z−2…z−n(m,n∈Nzi∈{0,…,9})\pm z_m z_{m-1} \ldots z_0\operatorname{,}z_{-1} z_{-2} \ldots z_{-n} \qquad \left(m,n\in\mathbb{N} \quad z_i\in\{0,\ldots,9\}\right)
aufgeschrieben. Dabei ist jedes ziz_{i} eine der oben genannten Ziffern. Der Index ii beschreibt den Stellenwert der jeweiligen Ziffer, die Wertigkeit einer Ziffer ist die Zehnerpotenz 10i10^{i}. Die Ziffern werden ohne Trennzeichen hintereinander geschrieben, wobei die höchstwertige Stelle mit der Ziffer zmz_{m} ganz links und die niederwertigeren Stellen mit den Ziffern zm−1z_{m-1} bis z0z_{0} in absteigender Reihenfolge rechts davon stehen. Zur Darstellung von rationalen mit nicht-periodischer Entwicklung folgen dann, nach einem trennenden Komma, die Ziffern z−1z_{ -1} bis z−nz_{ -n}.
Ziffern vor dem Komma werden mit der Basis 10 und einem positiven Exponenten und nach dem Komma mit 10 und einem negativen Exponenten multipliziert. Im englischen Sprachraum wird statt des Kommas meist ein Punkt verwendet.
Der Wert ZZ der Dezimalzahl ergibt sich durch Addition bzw. Subtraktion dieser Ziffern, welche vorher jeweils mit ihrem Stellenwert 10i10^{i} multipliziert werden:
Z=±∑i=−nmzi⋅10iZ = \pm \sum\limits_{i=-n}^m z_i \cdot 10^i.
Diese Darstellung nennt man auch Dezimalbruchentwicklung.

Beispiel

723,48=7⋅102\text{723,48} = 7·10^{2} +2⋅101 + 2·10^{1} +3⋅100+ 3·10^{0} +4⋅10−1+ 4·10^{-1} +8⋅10−2+ 8·10^{-2}

Dezimalbruchentwicklung

Die Darstellung einer Zahl ZZ durch die Form
Z=±∑i=−nmzi⋅10iZ = \pm \sum\limits_{i=-n}^m z_i \cdot 10^i.
wobei die ziz_i Ziffern aus 1…91\ldots 9 sind heißt Dezimalbruchentwicklung. Dadurch kann man jeder reellen Zahl eine Folge von Ziffern zuordnen. Jeder endliche Teil dieser Folge definiert einen Dezimalbruch, der eine Näherung der reellen Zahl ist. Man erhält die reelle Zahl selbst, wenn man von den endlichen Summen der Teile zur unendlichen Reihe über alle Ziffern übergeht. Diese Darstellung ist ein Beispiel einer Reihenentwicklung. Man sagt, dass die Dezimalbruchentwicklung abbricht, wenn die Ziffernfolge ab einer Stelle nur noch aus Nullen besteht, die dargestellte reelle Zahl also selbst schon ein Dezimalbruch ist. Insbesondere bei allen irrationalen Zahlen bricht die Ziffernfolge nicht ab; es liegt eine unendliche Dezimalbruchentwicklung vor.

Periode

In der Mathematik bezeichnet man als Periode eines Dezimalbruchs eine Ziffer oder Ziffernfolge, die sich nach dem Komma immer wieder wiederholt. Alle rationalen Zahlen, und nur diese, haben eine periodische Dezimalbruchentwicklung.

Beispiele:

Sofortperiodische

1/3 = 0,33333...
1/7 = 0,142857142857...
1/9 = 0,11111...

Nichtsofortperiodische

2/55 = 0,036363636...
1/30 = 0,03333...
1/6 = 0,16666...
Auch endliche Dezimalbrüche wie 0,12 können als periodische Dezimalbrüche aufgefasst werden: 0,12 = 0,12000...
Perioden treten im Dezimalsystem genau dann auf, wenn sich der Nenner des zugrunde liegenden Bruches nicht ausschließlich durch die Primfaktoren 2 und 5 erzeugen lässt -- 2 und 5 sind die Primfaktoren der Zahl 10, der Basis des Dezimalsystems. Ist der Nenner eine Primzahl (außer 2 und 5), so hat die Periode höchstens eine Länge, die um eins niedriger ist als der Wert des Nenners (in den Beispielen fett dargestellt).

Notation mit Periodenstrich

Für periodische Dezimalbruchentwicklungen ist eine Schreibweise üblich, bei der der sich periodisch wiederholende Teil der Nachkommastellen durch einen Überstrich markiert wird. Beispiele sind
  • 1/6=0,16ˉ1/6 = 0{,}1\bar{6},
  • 1/7=0,142857‾1/7 = 0{,}\overline{142857}.

Umformung periodischer Dezimalbrüch

Zur Umformung periodischer Dezimalbruchentwicklungen verwendet man die Beziehungen:
0,1‾=19;0{,}\overline{1} = \frac{1}{9}; \quad 0,01‾=199; 0{,}\overline{01} = \frac{1}{99}; \quad 0,001‾=1999;… 0{,}\overline{001} = \frac{1}{999}; \quad \ldots

Beispiele

0,55555…=0,5‾=590{,}55555\ldots = 0{,}\overline{5} = \dfrac{5}{9}
0,33333…=0,3‾=39=130{,}33333\ldots = 0{,}\overline{3} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}
0,424242…=0,42‾=4299=14330{,}424242\ldots = 0{,}\overline{42} = \dfrac{42}{99} = \dfrac{14}{33}
0,081081081…=0,081‾=81999=3370{,}081081081\ldots = 0{,}\overline{081} = \dfrac{81}{999} = \dfrac{3}{37}
Die Periode wird jeweils in den Zähler übernommen. Im Nenner stehen soviele Neunen, wie die Periode Stellen hat. Gegebenenfalls sollte der entstandene Bruch noch gekürzt werden.
Etwas komplizierter ist die Rechnung, wenn die Periode nicht unmittelbar auf das Komma folgt:

Beispiele

0,83333…=0,83‾=8,3‾:10=839:10=813:10=253:10=2530=560{,}83333\ldots = 0{,}8\overline{3} = 8{,}\overline{3} : 10 = 8\dfrac{3}{9} : 10 = 8\dfrac{1}{3} : 10 = \dfrac{25}{3} : 10 = \dfrac{25}{30} = \dfrac{5}{6}
0,48363636…=0,4836‾=48,36‾:100=483699:100=48411:100=53211:100=5321100=1332750{,}48363636\ldots = 0{,}48\overline{36} = 48{,}\overline{36} : 100 = 48\dfrac{36}{99} : 100 = 48\dfrac{4}{11} : 100 = \dfrac{532}{11} : 100 = \dfrac{532}{1100} = \dfrac{133}{275}

Formel

Für unendliche Dezimalbrüche mit einer Null vor dem Komma lässt sich folgende Formel aufstellen:
p=x⋅(10n−1)+y10m⋅(10n−1)p = \dfrac{x \cdot \braceNT{10^n-1} + y}{10^m \cdot \braceNT{10^n - 1}}
Dabei sind pp die periodische Zahl, xx die Zahl vor Beginn der Periode (als Ganzzahl),
mm die Anzahl der Ziffern vor Beginn der Periode, yy die Ziffernfolge der Periode (als Ganzzahl) und nn die Länge der Periode.
Die Anwendung dieser Formel soll anhand des letzten Beispiels demonstriert werden:
p=0,48363636…=0,4836‾p = 0{,}48363636\ldots = 0{,}48\overline{36}
x=48;m=2;y=36;n=2x = 48; \quad m = 2; \quad y = 36; \quad n = 2
p=48⋅(102−1)+36102⋅(102−1)=48⋅99+36100⋅99=47889900=133275p = \dfrac{48 \cdot \braceNT{10^2-1} + 36}{10^2 \cdot \braceNT{10^2 - 1}} = \dfrac{48 \cdot 99 + 36}{100 \cdot 99} = \dfrac{4788}{9900} = \dfrac{133}{275}
 
 

Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch.

Rene Descartes

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