Hexadezimalsystem

Im Hexadezimalsystem (griech. hexa = sechs, lat. decem = zehn, auch Sedezimalsystem von lat. sedecim = sechzehn) werden Zahlen in einem Stellenwertsystem mit der Basis 16 (also einem 16er-System) dargestellt. Es erlaubt eine knappere und somit übersichtlichere Notierung in der Datenverarbeitung als die zuvor benutzten Dual- und Oktalsysteme.

Wir sind es gewöhnt, im Dezimalsystem ("10er-System") zu rechnen. Das bedeutet, unser "arabisches" (eigentlich indisches) Zahlensystem verwendet 10 Symbole zur Notation der Ziffern (0 bis 9). Das Hexadezimalsystem enthält dagegen 16 Ziffern. Seit Mitte der 1950er Jahre werden zur Darstellung der sechs zusätzlichen Ziffern die Buchstaben A bis F oder a bis f als Zahlzeichen verwendet. Dies geht auf die damalige Praxis der IBM-Informatiker zurück. So lassen sich mit einer einstelligen hexadezimalen Zahl die Dezimalzahlenwerte von 0 bis 15 darstellen:

Dieses hexadezimale, alpha-numerische Mischsystem ist derzeit die Standardrepräsentation der hexadezimalen Ziffern. Seit einigen Jahren existiert ein Vorschlag, hexadezimale Zahlen allgemein mit neuen, unzweideutigen, sogenannten "omni-litteralen" (d. h. nur Buchstaben-) Ziffern darzustellen.

Um eine hexadezimale Zahl von einer normalen Dezimalzahl unterscheiden zu können, existieren mehrere Schreibweisen. Üblicherweise wird die hexadezimale Zahl mit einem Präfix oder Suffix versehen.

Verbreitete Schreibweisen sind zum Beispiel: $72_{16}$, $72_{H}$, $0x72$, $72h$.

Längere Zahlen werden auch in Hexadezimaldarstellung leicht unübersichtlich, so dass man Trennzeichen wie die

Tausenderpunkte bei Dezimaldarstellung (im Deutschen, Kommata im Englischen) einführt, nur hier eher alle

vier Stellen: AFFE.0815 . Hierfür gibt es allerdings keine feste Konvention, so dass verschiedene Varianten vorkommen können.

Zum Vergleich: Dezimale Zahlen werden, wenn eine Unterscheidung notwendig ist, zum Beispiel $114_{10}$ oder $114_{D}$ geschrieben. Oktale Zahlen werden meist durch eine obligatorische führende Null gekennzeichnet, zum Beispiel 017.

Das Hexadezimalsystem eignet sich sehr gut, um Folgen von Bits (verwendet in der Digitaltechnik) darzustellen. Vier Stellen einer Bitfolge (ein Nibble, auch Tetrade) werden wie eine Dualzahl interpretiert und entsprechen so einer Ziffer des Hexadezimalsystems, da 16 die vierte Potenz von 2 ist. Die Hexadezimaldarstellung der Bitfolgen ist leichter zu lesen und schneller zu schreiben:

Eine Möglichkeit, eine Zahl des Dezimalsystems in eine Zahl des Hexadezimalsystems umzurechnen, ist die Betrachtung der Divisionsreste, die entstehen, wenn die Zahl durch die Basis 16 geteilt wird.

Im Beispiel der 1278$_{10}$ sähe das so aus:

1278 : 16 = 79 Rest 14 (= E)

79 : 16 = $4$ Rest 15 (= F)

$4$ : 16 = $0$ Rest 4

Die Hexadezimalzahl wird von unten nach oben gelesen und ergibt somit 4FE.

Um eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss man die einzelnen Ziffern mit der jeweiligen Potenz der Basis multiplizieren. Der Exponent der Basis entspricht der Stelle der Ziffer, wobei der Zahl vor dem Komma eine Null zugeordnet wird.

Dazu muss man allerdings noch die Ziffern A, B, C, D, E, F in die entsprechenden Dezimalzahlen 10, 11, 12, 13, 14, 15 umwandeln.

Beispiel für $4FE_{16}$:

$4 \cdot 16^2 + 15 \cdot 16^1 + 14 \cdot 16^0 = 1278_{(10)}$

Für das Zählen und Rechnen im Hexadezimalsystem gibt es eine Eselsbrücke: A = 10 und B = 11 kann sich jeder merken. C wie zwölf, D wie dreizehn, E für vierzehn kommt vor F wie fünfzehn.

$m,n\in\mathbb{N}$, $h_i\in\{0;1;\cdots ;9;A;B;\cdots ;F\}$