Duodezimalsystem

Das Duodezimalsystem (auch Zwölfersystem) ist ein Stellenwertsystem zur Darstellung von Zahlen. Es verwendet die Basis Zwölf, ist also das "12-adische Stellenwertsystem". Das bedeutet: Anders als beim üblichen Dezimalsystem (mit der Basis 10) gibt es 12 Ziffern, so dass erst für natürliche Zahlen ab 12 eine zweite Ziffer benötigt wird.

Verwendung und Geschichte

Die Zahl 12 hatte in vielen Kulturen eine wichtige Bedeutung. Ein Grund sind vermutlich die 12 Mond-Monate im Jahr. Beispiele der Verwendung der 12 sind die 12 Monate im Jahr, zweimal 12 Stunden pro Tag, 12 Tierkreiszeichen, 12 Zeichen in der chinesischen Astrologie.
In vielen europäischen Sprachen gibt es eigene Zahlennamen für 11 ("elf") und 12 ("zwölf") anstelle der regelmäßigen Zehnersystem-Namen (wie "zweiundzehn"). Dies weist, wie auch die Verwendung des Dutzend, auf eine breite Verwendung der Basis 12 hin.
Zusätzlich hat die 12 die Eigenschaft, durch relativ viele Zahlen teilbar zu sein (2, 3, 4, 6), was die Verwendung als Größeneinteilung (z. B. bei Zoll und Fuß) zur Folge hatte.
Ein kleiner Nachteil gegenüber dem Hexadezimalsystem, den das Duo- mit dem Dezimal und dem Oktalsystem teilt, ist, dass die Wurzel der Basis keine ganze Zahl ist.
Das Duodezimalsystem wird heute noch in einigen Zusammenhängen verwendet:
  • 1 Dutzend = 12 Stück, 1 Schock = 5 Dutzend, 1 Gros = 12 Dutzend, 1 Maß = 12 Gros
  • bei verschiedenen Maßeinheiten, z. B. 1 Fuß = 12 Zoll,
  • Einteilung des Tages in 2 · 12 Stunden.
Ansätze, das Dezimalsystem mit zwei zusätzlichen Ziffern zu ergänzen, um allgemein im Duodezimalsystem zu rechnen, konnten sich dagegen nicht durchsetzen.
 
 

Darstellung von Zahlen

Ziffern

Die Dozenal Society of America (gegr. 1944) schlug zusätzlich zu den Ziffern 0 bis 9 noch X für 10 und E für 11 vor, später dann # für 10. Die Zahl 278 würde dann z. B. als 1E2 (1 · 144 + 11 · 12 + 2 · 1) geschrieben. Die Nachteile davon liegen auf der Hand - weitere gängige Bedeutungen der Zeichenfolge 1E2 sind nämlich
  • die Abkürzung der Exponentialschreibweise 1 * 10^2 und
  • die Hexadezimalzahl 0x1E2 = 1 * 256 + 14 * 16 + 2.
Die Dozenal Society of Great Britain (gegr. 1959) bevorzugt stattdessen die auf den Kopf gestellten Ziffern 2 und 3.
In diesem Artikel verwenden wir die Ziffern # und E für Zehn und Elf.

Ganze und rationale Zahlen

Die Darstellung der Zahlen erfolgt ähnlich wie die Darstellung im gewöhnlich verwendeten Dezimalsystem, mit dem Unterschied, dass die Wertigkeit der Ziffern nicht durch die entsprechende Zehnerpotenz, sondern durch die passende Zwölferpotenz bestimmt wird.
Beispielsweise stellt die Ziffernfolge 234 nicht (wie im Dezimalsystem) die Zweihundertvierunddreißig dar, sondern die Dreihundertachtundzwanzig, denn im Duodezimalsystem berechnet sich der Wert durch:
234(12)=2⋅122+3⋅121+4⋅120=288+36+4=328(10)234_{(12)} = 2\cdot 12^2 + 3\cdot 12^1 + 4\cdot 12^0 = 288+36+4=328_{(10)}
Die Indices weisen dabei auf die verwendete Basis hin.
Duodezimale Brüche sind wie im Dezimalsystem entweder endlich, wie
1/2=0,6(12)1/2 = 0,6_{(12)}
1/3=0,4(12)1/3 = 0,4_{(12)}
1/6=0,2(12)1/6 = 0,2_{(12)}
1/8=0,16(12)1/8 = 0,16_{(12)}
1/9=0,14(12)1/9 = 0,14_{(12)}
oder periodisch, wie
1/5=0,249724972497…(12)1/5 = 0,2497 2497 2497 \ldots_{(12)}
1/7=0,186186…(12)1/7 = 0,186 186 \ldots_{(12)}
1/10=0,124972497…(12)1/10 = 0,1 2497 2497 \ldots_{(12)}
Negative Zahlen schreibt man wie im Dezimalsystem mit einem vorangestellte Minuszeichen.

Grundrechenarten

Ganz analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Duodezimalzahlen die gängigen arithmetischen Grundoperation Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen.
Die benötigten Algorithmen sind prinzipiell dieselben, nur werden durch die größere Anzahl von Ziffern das kleine Einmaleins und die Additionstabelle größer.

Umrechnen in andere Stellenwertsysteme

Vom Duodezimalsystem ins Dezimalsystem

Um aus einer Duodezimalzahl eine Dezimalzahl zu erhalten, zählt man die angegebenen Vielfachen der 12er-Potenzen zusammen, berechnet also den Wert der Zahl wie es die Definition des 12-adischen Stellenwertsystems vorgibt:
234(12)=2⋅122+3⋅121+4⋅120234_{(12)} = 2 · 12^{2} + 3 · 12^{1} + 4 · 12^{0} =288+36+4=328= 288 + 36 + 4 = 328.

Vom Dezimalsystem ins Duodezimalsystem

Eine Möglichkeit, eine Dezimalzahl ins Duodezimalsystem umzuwandeln, ist die Betrachtung der Divisionsreste die entstehen, wenn die Zahl durch die Basis 12 geteilt wird.
Im Beispiel der 328(10)328_{(10)} sähe das so aus:
328 : 12 = 27 Rest 4,
27 : 12 = 22 Rest 3,
22 : 12 = 00 Rest 2.
Der zu errechende Wert ist nun von unten nach oben an den Resten ablesbar: 234(12)234_{(12)}.

Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.

Albert Einstein

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