Maße

Sei Ω≠∅\Omega\neq\emptyset und F\mathcal{F} ist eine σ\sigma-Algebra über Ω\Omega.
Das Tupel (Ω,F)(\Omega,\mathcal{F}) heißt messbarer Raum oder auch Messraum. Eine nichtnegative Funktion μ:F→[0,+∞]\mu:\mathcal{F}\rightarrow [0,+\infty] heißt Maß auf (Ω,F)(\Omega,\mathcal{F}), wenn gilt
  1. μ(∅)=0\mu(\emptyset)=0
  2. Für paarweise disjunkte Mengen (Ak)k=1∞(A_k)_{k=1}^\infty aus F\mathcal{F} gilt:
    μ(⋃k=1∞Ak)=∑k=1∞μ(Ak)\mu\left(\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k\right)=\sum\limits_{k=1}^\infty \mu(A_k) (σ\sigma-Additivität)
Das Tripel (Ω,F,μ)(\Omega,\mathcal{F},\mu) heißt Maßraum. Ein Maß heißt endlich, wenn es nur endliche Werte annimmt.

Beispiele

O\mathcal{O}: O(A)=0\mathcal{O}(A)=0 für alle A∈FA\in\mathcal{F} heißt Nullmaß. Dirac-Maß: Sei ω∈Ω\omega\in\Omega. Setzen δω(A)={1 ω∈A0 ω∉A\delta_\omega(A)= \begin{cases} 1\, & \omega\in A\\ 0\, & \omega\notin A \end{cases} Sei Ω\Omega abzählbar und F=P(Ω)\mathcal{F}=\Pow(\Omega). Dann ist das Zählmaß μ(A):=#(A)\mu(A):=\#(A) die Anzahl der Teilmengen AA aus Ω\Omega.

Satz

Sei (μi)i∈I(\mu_i)_{i\in I} eine abzählbare Familie von Maßen auf dem Messraum (Ω,F)(\Omega,\mathcal{F}) und (αi)i∈I(\alpha_i)_{i\in I} eine Familie nichtnegativer reller Zahlen. Durch
μ(A):=∑i∈Iαiμi(A)\mu(A):=\sum\limits_{i\in I} \alpha_i \mu_i(A) (A∈F) (A\in\mathcal{F})
ist ein Maß auf (Ω,F)(\Omega,\mathcal{F}) definiert.

Beweis

Die Funktion μ\my ist nichtnegativ, da alle αi\alpha_i sowie die μi(A)\mu_i(A) nichtnegativ sind. Die Summenbildung ändert nichts. μ(∅)=∑k=1∞αiμi(∅)=0\mu(\emptyset)=\sum\limits_{k=1}^\infty \alpha_i\mu_i (\emptyset)=0, da μi(∅)=0\my_i(\OO)=0 für alle i∈Ii\in I. Seien (Ak)k=1∞(A_k)_{k=1}^\infty paarweise disjunkt aus F\mathcal{F}. μ(⋃k=1∞Ak)\mu(\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k)=∑i∈Iαiμi(⋃k=1∞Ak)⎵∑k=1∞μi(Ak) =\sum\limits_{i\in I}\alpha_i \underbrace{\mu_i \left(\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k\right)}_{\sum\limits_{k=1}^\infty \mu_i (A_k)}=∑i∈Iαi∑k=1∞μi(Ak) = \sum\limits_{i\in I} \alpha_i\sum\limits_{k=1}^\infty \mu_i (A_k) =∑k=1∞∑i∈Iαiμi(Ak)⎵μ(Ak)=∑k=1∞μ(Ak)=\sum\limits_{k=1}^\infty \underbrace{\sum\limits_{i\in I} \alpha_i \mu_i(A_k)}_{\mu(A_k)} = \sum\limits_{k=1}^\infty \mu(A_k). □\qed

Satz 16KZ (Eigenschaften des Maßes)

Sei (Ω,F,μ)(\Omega,\mathcal{F},\mu) ein Maßraum und A,B∈FA,B\in\mathcal{F}. Dann gilt:
  1. μ(A∪B)≤μ(A)+μ(B)\mu(A \cup B)\leq\mu(A)+\mu(B)
  2. A⊆B⇒μ(A)⊆μ(B)A\subseteq B\Rightarrow \mu(A)\subseteq\mu(B)
  3. A⊆BA\subseteq B und μ \mu endlich ⇒μ(B\A)=μ(B)−μ(A)\Rightarrow \mu(B\backslash A) = \mu(B) -\mu(A)

Beweis

(ii): A⊆B⇒B=A∪(B\A)A\subseteq B\Rightarrow B=A\cup(B\backslash A) . Also μ(B)=μ(A∪(B\A))=μ(A)+μ(B\A) \mu(B)=\mu(A\cup(B\backslash A)){=} \mu(A)+\mu(B\backslash A). Es ist μ(B\A)≥0\mu(B\backslash A)\geq 0, also μ(A)≤μ(B) \mu(A)\leq\mu(B).
(iii): Falls μ\mu endlich ist, können wir das Ergebnis aus (ii) umstellen: μ(B\A)=μ(B)−μ(A)\mu(B\backslash A)=\mu(B) - \mu(A).
(i): A∪B=A∪(B\A)A\cup B=A\cup (B\backslash A)⇒μ(A∪B)=μ(A∪(B\A))=μ(A)+μ(B\A) \Rightarrow \mu(A\cup B)= \mu(A\cup (B\backslash A))=\mu(A)+\mu(B\backslash A). Es ist: B\A⊆BB\backslash A\subseteq B und nach (ii) gilt daher μ(B\A)⊆μ(B) \mu(B\backslash A)\subseteq\mu(B)⇒μ(A∪B)≤μ(A)+μ(B) \Rightarrow\mu(A\cup B)\leq \mu(A) +\mu(B). □\qed

Satz 16L0 (Stetigkeit des Maßes)

Seien μ\mu ein endliches Maß (μ(Ω)<+∞\mu(\Omega)<+\infty) und (An)n=1∞(A_n)_{n=1}^\infty Mengen aus F\mathcal{F}. Dann gelten:
  1. Stetigkeit von unten
    Ist An⊆An+1A_n\subseteq A_{n+1}, so gilt: μ(⋃n=1∞An)=lim⁡n→∞μ(An)\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\right)=\lim_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n)
  2. Stetigkeit von oben
    Ist An⊇An+1A_n\supseteq A_{n+1}, so gilt: μ(⋂n=1∞An)=lim⁡n→∞μ(An)\mu\left(\bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n\right)=\lim_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n)

Beweis

(i): Wir setzen B1:=A1B_1:=A_1, Bn+1=An+1\An B_{n+1}=A_{n+1}\backslash A_n. Damit gilt: alle BkB_k sind paarweise disjunkt und Bk∈FB_k\in\mathcal{F}, sowie ⋃k=1nBk=An\bigcup\limits_{k=1}^n B_k=A_{n} und ⋃k=1∞Ak=⋃k=1∞Bk\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k=\bigcup\limits_{k=1}^\infty B_k. Somit folgt: μ(⋃k=1∞Ak)=μ(⋃k=1∞Bk)\mu(\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k){=} \mu(\bigcup\limits_{k=1}^\infty B_k)=∑k=1∞μ(Bk) {=} \sum\limits_{k=1}^\infty \mu(B_k) =lim⁡n→∞∑k=1nμ(Bk) =\lim_{n\rightarrow\infty} \sum\limits_{k=1}^n \mu(B_k) =lim⁡n→∞μ(⋃k=1nBk) {=} \lim_{n\rightarrow\infty} \mu(\bigcup\limits_{k=1}^n B_k) =lim⁡n→∞μ(An){=}\lim_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n).
(ii): An⊇An+1⇒Anc⊆An+1cA_n\supseteq A_{n+1}\Rightarrow A_n^c\subseteq A_{n+1}^c. Nach (i) gilt nun: μ(⋃n=1∞Anc)=lim⁡n→∞μ(Anc)\mu(\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n^c) = \lim_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n^c). μ(⋃n=1∞Anc)\mu(\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n^c)=μ((⋂n=1∞An)c) =\mu((\bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n)^c)=μ(Ω\(⋂n=1∞An)) = \mu(\Omega\backslash(\bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n)) =μ(Ω)−μ(⋂n=1∞An) {=} \mu(\Omega)-\mu(\bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n). μ(Anc)=μ(Ω\An)\mu(A_n^c)=\mu(\Omega\backslash A_n)=μ(Ω)−μ(An)⇒lim⁡n→∞μ(An) =\mu(\Omega)-\mu(A_n) \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n). □\qed
 
 

Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom Radius Null und nennen ihn ihren Standpunkt.

David Hilbert

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