Maßtheorie

Die Maßtheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die elementargeometrischen Begriffe Streckenlänge, Flächeninhalt, Volumen verallgemeinert und es dadurch ermöglicht, auch komplizierteren Mengen ein Maß zuzuordnen. Sie bildet das Fundament der modernen Integrations- und Wahrscheinlichkeitstheorie.
Als Maß versteht man in der Maßtheorie eine Zuordnung von reellen oder komplexen Zahlen zu einem Teilmengensystem über einer Grundmenge. Die Zuordnung und das Teilmengensystem sollen dabei bestimmte Eigenschaften besitzen. In der Praxis ist häufig nur eine partielle Zuordnung von vornherein bekannt. Zum Beispiel ordnet man in der Ebene Rechtecken das Produkt ihrer Kantenlängen als Flächeninhalt zu. Die Maßtheorie untersucht nun einerseits, ob sich in konsistenter Weise und eindeutig diese Zuordnung auf größere Teilmengensysteme erweitern lässt und andererseits, ob dabei zusätzliche gewünschte Eigenschaften erhalten bleiben. Im Beispiel der Ebene möchte man natürlich auch Kreisscheiben einen sinnvollen Flächeninhalt zuordnen und wird gleichzeitig neben den Eigenschaften, die man von Maßen ganz allgemein verlangt, auch Translationsinvarianz fordern, das heißt der Inhalt einer Teilmenge der Ebene ist unabhängig von ihrer Position.
 
 

Definitionen und Beispiele

Messraum, messbare Mengen

Für eine exakte Definition der Grundbegriffe der Maßtheorie beginnen wir mit einer Grundmenge \(\displaystyle \Omega\). Wenn eine gewisse Menge \(\displaystyle \Sigma\) von Teilmengen von \(\displaystyle \Omega\) eine \(\displaystyle \sigma\)-Algebra bildet, dann heißt jede Menge, die Element von \(\displaystyle \Sigma\) ist, messbar (engl. measurable), und die Grundmenge \(\displaystyle \Omega\) mit der Struktur \(\displaystyle \Sigma\) heißt Messraum (engl. measurable space). Eine Funktion, die die Struktur eines Messraums erhält, heißt messbare Funktion.
Vokabelerklärung:
Die Forderung, dass \(\displaystyle \Sigma\) eine \(\displaystyle \sigma\)-Algebra ist, bedeutet,
  • dass \(\displaystyle \Sigma\) mit jeder Menge \(\displaystyle S\) auch deren Komplement \(\displaystyle \Omega\)\\(\displaystyle S\) enthält,
  • dass \(\displaystyle \Sigma\) die leere Menge (und damit auch deren Komplement \(\displaystyle \Omega\)) enthält, und
  • dass \(\displaystyle \Sigma\) bezüglich der abzählbaren Vereinigung abgeschlossen ist.
Beispiele für Messräume:

Maß, Maßraum

Ein Maß \(\displaystyle \mu\) ist eine Funktion, die jeder Menge \(\displaystyle S\) aus \(\displaystyle \Sigma\) einen Wert \(\displaystyle \mu (S)\) zuordnet. Dieser Wert ist entweder eine nichtnegative reelle Zahl oder \(\displaystyle \infty\) (siehe unten wegen möglicher Verallgemeinerungen). Ferner muss gelten:
  • Die leere Menge hat das Maß null: \(\displaystyle \mu (\emptyset) = 0\).
  • Das Maß ist abzählbar additiv (auch \(\displaystyle \sigma\)-additiv), das heißt, wenn \(\displaystyle E _{1},\, E_{2},\, E _{3}\), ... abzählbar viele paarweise disjunkte Mengen aus \(\displaystyle \Sigma\) sind und \(\displaystyle E\) deren Vereinigungsmenge ist, dann ist das Maß \(\displaystyle \mu (E)\) gleich der Summe \(\displaystyle \sum\limits{\mu{}(E_k)}\).
Die Struktur \(\displaystyle (\Omega,\, \Sigma,\, \mu)\) eines Messraums zusammen mit einem auf diesem definierten Maß heißt Maßraum (engl. measure space).

Nullmenge, vollständig, fast überall

Eine Nullmenge ist eine Menge \(\displaystyle S\) aus \(\displaystyle \Sigma\) mit dem Maß \(\displaystyle \mu (S) = 0\). Ein Maß heißt vollständig, wenn jede Teilmenge jeder Nullmenge in \(\displaystyle \Sigma\) enthalten ist. Eine Eigenschaft gilt fast überall in \(\displaystyle \Omega\), wenn sie nur in einer Nullmenge nicht gilt.
Beispiele für Nullmengen:

endlich, \(\displaystyle \sigma\)-endlich

Ein Maß heißt endlich, wenn \(\displaystyle \mu(\Omega) < \infty\). Ein Maß heißt \(\displaystyle \sigma\)-endlich, wenn \(\displaystyle \Omega\) die Vereinigung einer abzählbaren Folge messbarer Mengen \(\displaystyle \left\{S_1, S_2, S_3, \dots \right\}\) ist, die alle ein endliches Maß \(\displaystyle \mu{}(S_k) < \infty\) haben.
\(\displaystyle \sigma\)-endliche Maße haben einige schöne Eigenschaften, die gewisse Analogien zu den Eigenschaften separabler topologischer Räume aufweisen.

Beispiele

  • Das Nullmaß, das jeder Menge \(\displaystyle S\) den Wert \(\displaystyle \mu (S)\)=0 zuordnet.
  • Das Zählmaß ordnet jeder Teilmenge \(\displaystyle S\) einer endlichen oder abzählbar unendlichen Menge die Anzahl ihrer Elemente zu, \(\displaystyle \mu (S)\)=|\(\displaystyle S\)|.
  • Das Lebesgue-Maß auf der Menge der reellen Zahlen \(\displaystyle \R\) mit der Borelschen \(\displaystyle \sigma\)-Algebra, definiert als translationsinvariantes Maß mit \(\displaystyle \mu\)([0,1])=1.
  • Das Haar-Maß auf lokal kompakten topologischen Gruppen.
  • Wahrscheinlichkeitsmaße, mit \(\displaystyle \mu (\Omega)\)=1.
  • Das Zählmaß auf der Menge \(\displaystyle \N\) der natürlichen Zahlen ist unendlich, aber \(\displaystyle \sigma\)-endlich.
  • Das kanonische Lebesgue-Maß auf der Menge \(\displaystyle \R\) der reellen Zahlen ist ebenfalls unendlich, aber \(\displaystyle \sigma\)-endlich, denn \(\displaystyle \R\) kann als Vereinigung abzählbar vieler endlicher Intervalle \(\displaystyle \ntxbraceL{ k, k+1}\) dargestellt werden.
  • Das Lévy-Maß ist ein zufälliges Maß (random measure) und wird unter anderem benötigt, um Lévy-Prozesse zu charakterisieren. Es gibt die erwartete Anzahl an Sprüngen des Prozesses dieser Höhe im Einheitsintervall an.

Verallgemeinerungen

Eine mögliche Verallgemeinerung betrifft den Wertebereich der Funktion \(\displaystyle \mu\).
  • Man kann negative reelle oder komplexe Werte zulassen (komplexes oder signiertes Maß).
  • Ein weiteres Beispiel einer Verallgemeinerung ist das Spektralmaß, dessen Werte lineare Operatoren sind. Dieses Maß wird insbesondere in der Funktionalanalysis für das Spektraltheorem benutzt.
Eine andere Möglichkeit der Verallgemeinerung ist die Definition eines Maßes auf der Potenzmenge.
  • Siehe äußeres Maß
Historisch wurden zuerst endlich additive Maße eingeführt. Die moderne Definition, derzufolge ein Maß abzählbar additiv ist, erwies sich jedoch als nützlicher.

Ergebnisse

Der Satz von Hadwiger klassifiziert alle möglichen translationsinvarianten Maße im \(\displaystyle \R^n\): das Lebesgue-Maß ist ebenso ein Spezialfall wie die Euler-Charakteristik. Verbindungen ergeben sich ferner zu den Minkowski-Funktionalen und den Quermaßen.

Siehe auch

  • Banach-Tarski-Paradoxon

Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.

Paul Erdös

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