Wahrscheinlichkeitstheorie

Axiomatischer Aufbau

Definitionen

$P(A)=\int\limits_A f(x) \, dx$

Axiome von Kolmogorow

1. Für jedes Ereignis $A$ aus $\Omega$ ist die Wahrscheinlichkeit eine reelle Zahl zwischen 0 und 1: 0$\leq P(A) \leq$1.
2. Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1: $P (\Omega)$=1.
3. Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung abzählbar vieler inkompatibler Ereignisse entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Inkompatible Ereignisse sind disjunkte Mengen $A_{1},\, A_{2}$ ...; es muss also gelten: $P(A_1 \dot\cup A_2 \dot\cup \cdots) = \sum\limits P(A_i)$. Diese Eigenschaft wird auch $\sigma$-Additivität genannt.

• Dann ist die Ergebnismenge $\Omega$={Zahl,Adler}.
• Als Ereignisraum kann die Potenzmenge $\Pi(\Omega) \,$ gewählt werden, also $\Sigma=\{\{\},\{$Zahl$\},\{$Adler$\},\Omega\} \,$.
• Für das Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ steht aufgrund der Axiome fest:
• $P(\lbrace \rbrace)=0$;
• $P(\lbrace Zahl \rbrace)=1-P(\lbrace Adler \rbrace)$;
• $P(\Omega)=1$.

Folgerungen

Beweis: Es ist $(\Omega \setminus A) \cup A = \Omega$ sowie $(\Omega \setminus A) \cap A = \lbrace \rbrace$. Folglich nach Axiom (3): $P(\Omega \setminus A) + P(A) = P(\Omega)$ und dann nach Axiom (2): $P(\Omega \setminus A) + P(A) = 1$. Umgestellt ergibt sich: $P(\Omega \setminus A) = 1 - P(A)$, wie behauptet.

Beweis: Es ist $\lbrace \rbrace \cup \Omega = \Omega$ und $\lbrace \rbrace \cap \Omega = \lbrace \rbrace$, also nach Axiom (3): $P(\lbrace \rbrace) + P(\Omega) = P(\Omega)$, d. h. nach Axiom (2): $P(\lbrace \rbrace) + 1 = 1$. Hieraus folgt $P(\lbrace \rbrace) = 0$, wie behauptet.

Beweis: Die für den Beweis erforderlichen Mengen sind im obigen Bild dargestellt. Die Menge $A \cup B$ kann danach als Vereinigung von drei disjunkten Mengen dargestellt werden:

Hieraus folgt nach (3): $P(A \cup B) = P(A \setminus B) + P(A \cap B) + P(B \setminus A)$.

Andererseits ist nach (3) sowohl

$P(A) = P(A \setminus B) + P(A \cap B)$ als auch

$P(B) = P(A \cap B) + P(B \setminus A)$.

Addition liefert:

$P(A) + P(B) = P(A \setminus B) + P(A \cap B) + P(A \cap B) + P(B \setminus A)$

$= P(A \cup B) + P(A \cap B)$.

Umstellen ergibt $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$, wie behauptet.

Spezielle Eigenschaften im Fall diskreter Wahrscheinlichkeitsräume

Laplace-Experimente

Beweis: Wenn |$\Omega$| = n ist, dann gibt es n Elementarereignisse $E_{1}$ bis $E_{n}$. Es ist dann einerseits $\Omega = E_1 \cup \dots \cup E_n$ und andererseits sind je zwei Elementarereignisse disjunkt (inkompatibel: wenn das eine eintritt, kann das andere nicht eintreten). Also sind die Voraussetzungen für Axiom (3) erfüllt, und es gilt:

$P(E_1) + \dots + P(E_n) = P(\Omega) = 1$.

Da nun andererseits $P(E_1) = \dots = P(E_n) = P$ sein soll, ist $n \cdot P = 1$ und daher umgestellt: $P = \over{ 1 }{ n },$wie behauptet.

$P(A) = \over{ |A| }{ |\Omega | }$.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

$P(A \vert B) = \over{ {P(A \cap B)} }{ {P(B)}}$

(1a): $0 \le P(A \vert B) \le 1$

(2a): $P(B \vert B)=1$

(3a): Wenn $A_1$ bis $A_k$ paarweise disjunkt sind, so ist $P(A_1 \cup \dots \cup A_k \vert B) = P(A_1 \vert B) + \dots + P(A_k \vert B)$

Beweis: Zu (1a). $P(A \vert B)$ ist Quotient zweier Wahrscheinlichkeiten, für welche nach Axiom (1) gilt $P(A \cap B) \ge 0$ und $P(B) \ge 0$. Da B nicht das unmögliche Ereignis sein soll, ist sogar $P(B) > 0$. Also gilt auch für den Quotienten $P(A \vert B) \ge 0$. Ferner sind B und B\A disjunkt, und ihre Vereinigung ist B. Also ist nach Axiom (3): $P(A \cap B) = P(B) - P(A \setminus B)$. Da $P(A \setminus B) \ge 0$ ist, folgt $P(A \cap B) \le P(B)$ und daher $P(A \vert B) \le 1$.

Zu (2a): Es ist $P(B \vert B) = \dfrac{ {P(B \cap B)} }{ {P(B)}} = \over{P(B)}{ P(B)} = 1$.

Zu (3a): Es ist $P(A_1 \cup \dots \cup A_k \vert B) = \dfrac{ {P((A_1 \cup \dots \cup A_k) \cap B)} }{ {P(B)}}$

$= \dfrac{ {P((A_1 \cap B) \cup \dots \cup (A_k \cap B))} }{ {P(B)}} = \dfrac{ {P(A_1 \cap B) + \dots + P(A_k \cap B)} }{ {P(B)}}$

$= \dfrac{ {P(A_1 \cap B)} }{ {P(B)}} + \dots + \dfrac{ {P(A_k \cap B)} }{ {P(B)}} = P(A_1 \vert B) + \dots + P(A_k \vert B)$.

Dies war zu zeigen.

Verbundwahrscheinlichkeit (Schnittmengen von Ereignissen)

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \vert A) = P(B) \cdot P(A \vert B)$

Beweis: Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ist einerseits $P(A \vert B) = \over{ {P(A \cap B)} }{ {P(B)}}$ und andererseits auch $P(B \vert A) = \over{ {P(A \cap B)} }{ {P(A)}}$. Umstellen nach $P(A \cap B)$ liefert dann sofort die Behauptung.

Bayes-Theorem

$P(A \vert B) = \dfrac {P(B \vert A) \cdot P(A)} {P(B)}$

Beweis: Aus der obigen Formel für die Verbundwahrscheinlichkeit erhält man $P(A) \cdot P(B \vert A) = P(B) \cdot P(A \vert B)$. Umstellen nach $P(A \vert B)$ liefert dann die Behauptung.

Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Ereignissen

Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn gilt $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Ungenau, aber einprägsam formuliert: Bei unabhängigen Ereignissen kann man die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren.

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

• Statistische Verteilungen werden regelmäßig unter der Annahme modelliert, dass sie das Resultat zufälliger Prozesse sind.
• Umgekehrt liefern statistische Daten über eingetretene Ereignisse Anhaltspunkte (in frequentistischer Interpretation sogar die einzigen akzeptablen Anhaltspunkte) für die Wahrscheinlichkeit künftiger Ereignisse.

Anwendungsgebiete

Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch.

Bertrand Russell

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